정삼각기둥(밑면 정삼각형 + 옆면 정사각형)이 정다면체가 아닌 이유로 옳은 것은? ① 면이 합동이 아니다 (정삼각형 ≠ 정사각형) ② 옆면이 정사각형이 아니다 ③ 한 꼭짓점에 모이는 면의 수가 다양하다 ④ 모서리가 너무 적다
밑면과 옆면이 같은 다각형인가요?
① 면이 합동이 아니다 (정삼각형 ≠ 정사각형) 옆면이 정사각형이라도, 밑면(정삼각형)과 옆면(정사각형)은 합동이 아님 → 첫째 조건 위반. (추가로: 두 밑면 꼭짓점에서는 정사각형 2개+정삼각형 1개 모이고, 옆면-옆면 사이에는 정사각형 2개가 모이는 등 꼭짓점 조건도 깨짐.)
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한 꼭짓점에 정삼각형 $6$ 개가 모이면 정다면체가 만들어질까요? 그 이유와 함께 답하세요.
한 꼭짓점에 모인 각의 합이 360°이면? 360° 초과면?
아니요. 평면이 되어 입체가 만들어지지 않아요. 정삼각형 1개 내각 = 60°. 6개 모이면 각의 합 = $6 \times 60° = 360°$. 각 합이 360°이면 정확히 평면 → 입체로 솟아오르지 못함. 360°보다 작아야 (180°·240°·300°만 가능) 입체. 그래서 정삼각형 정다면체는 정확히 3종 (3·4·5 모임).
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정육각형 정다면체가 존재하지 않는 이유는? (한 꼭짓점에 모이는 정육각형 수에 대해 분석)
정육각형 한 내각 = 120°. 한 꼭짓점에 최소 3개 모여야 입체. 그러면 각 합은?
한 꼭짓점에 정육각형이 3개만 모여도 각 합 = 360°가 되어 평면이 됨. 정육각형 한 내각 = 120°. 3개 모이면 $3 \times 120° = 360°$ → 평면! (벌집 모양) 2개로는 입체가 닫히지 않고, 3개 이상은 360°를 넘거나 같음. 그래서 정육각형 정다면체는 존재할 수 없음. 💡 그래서 정삼각형(60°), 정사각형(90°), 정오각형(108°) 면만 정다면체를 만듦.
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정십이면체와 정이십면체에서 $V$, $E$, $F$ 의 값을 비교해서 신기한 점을 발견할 수 있어요. 무엇인가요?
정십이면체와 정이십면체는 $V$ 와 $F$ 가 서로 바뀐 관계 (쌍대 dual) 정십이: $V=20, E=30, F=12$ 정이십: $V=12, E=30, F=20$ 두 입체의 $V$와 $F$를 맞바꾸면 다른 입체가 됨! 모서리 수($E=30$)는 그대로. 💡 정육면체와 정팔면체도 쌍대 ($V=8, F=6$ ↔ $V=6, F=8$, $E=12$ 동일). 정사면체는 자기 자신과 쌍대 (정사면체 ↔ 정사면체). 케플러가 이 신기한 관계를 정리했어요.