정다면체는 평생 처음 만나는 도형들이에요. 그리고 가장 큰 함정은 두 가지:
이 단원의 핵심은 왜 5종뿐인지 직접 이해하는 것이에요.
정다면체는 다음 두 조건을 모두 만족하는 다면체:
| 이름 | 면 모양 | $F$ | $V$ | $E$ | 꼭짓점에 모인 면 |
|---|---|---|---|---|---|
| 정사면체 | 정삼각형 | 4 | 4 | 6 | 3 |
| 정육면체 | 정사각형 | 6 | 8 | 12 | 3 |
| 정팔면체 | 정삼각형 | 8 | 6 | 12 | 4 |
| 정십이면체 | 정오각형 | 12 | 20 | 30 | 3 |
| 정이십면체 | 정삼각형 | 20 | 12 | 30 | 5 |
다면체의 한 꼭짓점에 모인 다각형들의 내각의 합 < 360° 이어야 입체가 닫혀요.
가능한 정다각형 (내각이 작은 것부터):
| 면 모양 | 한 내각 | 모인 수 | 각 합 | 입체? |
|---|---|---|---|---|
| 정삼각형 | 60° | 3 | 180° | ✅ 정사면체 |
| 4 | 240° | ✅ 정팔면체 | ||
| 5 | 300° | ✅ 정이십면체 | ||
| 6 | 360° | ❌ 평면 (벌집) | ||
| 정사각형 | 90° | 3 | 270° | ✅ 정육면체 |
| 4 | 360° | ❌ 평면 (바둑판) | ||
| 정오각형 | 108° | 3 | 324° | ✅ 정십이면체 |
| 4 | 432° | ❌ 360° 초과 | ||
| 정육각형 | 120° | 3 | 360° | ❌ 평면 (벌집) |
| 정칠각형 이상 | ≥128° | 3 | ≥384° | ❌ 360° 초과 |
위 표에서 ✅ 표시 = 정확히 5종:
정삼각형 면으로 3종 (3·4·5 모임), 정사각형 면으로 1종, 정오각형 면으로 1종. 정육각형 이상은 만들 수 없음.
5종 모두 검증:
| 정다면체 | $V$ | $E$ | $F$ | $V-E+F$ |
|---|---|---|---|---|
| 정사면체 | 4 | 6 | 4 | $4-6+4=$2 ✓ |
| 정육면체 | 8 | 12 | 6 | $8-12+6=$2 ✓ |
| 정팔면체 | 6 | 12 | 8 | $6-12+8=$2 ✓ |
| 정십이면체 | 20 | 30 | 12 | $20-30+12=$2 ✓ |
| 정이십면체 | 12 | 30 | 20 | $12-30+20=$2 ✓ |
5종 정다면체에는 짝이 있어요:
| 입체 A | 입체 B | $V \leftrightarrow F$ 관계 |
|---|---|---|
| 정사면체 | 정사면체 (자기 자신) | $V=F=4$ |
| 정육면체 ($V=8, F=6$) | 정팔면체 ($V=6, F=8$) | $V$ ↔ $F$ 교환 |
| 정십이면체 ($V=20, F=12$) | 정이십면체 ($V=12, F=20$) | $V$ ↔ $F$ 교환 |
두 입체에서 한 입체의 각 면 중심을 꼭짓점으로 하면 다른 입체가 만들어져요. 이걸 쌍대(dual) 관계라고 해요.
위로: 오일러 공식 $V-E+F=2$는 정다면체뿐 아니라 모든 (구멍 없는) 다면체에서 성립 — Unit 12에서 다시 만남.
옆으로: 정다면체의 면이 정다각형이라는 조건은 Unit 09(다각형) 정다각형 단원으로 직접 이어짐. 정육각형이 정다면체를 못 만든다는 사실은 정육각형의 한 내각이 120°이기 때문 — 다각형 단원에서 배운 공식.
아래로: 케플러-푸앵소 다면체(별 모양 정다면체) 4종은 정다면체 5종의 확장 버전. 면이 면을 가로지르는 신기한 입체. 연구심화 자료로!