문제 · Page 0
단계별로 풀어볼까요?
정답은 마지막에 확인해요. 먼저 스스로 생각해보고, 막히면 다음 단계로 넘어가세요.
📖 용어 노트
다면체: 다각형으로만 둘러싸인 입체도형 ·
꼭짓점(V)·모서리(E)·면(F) ·
오일러 공식: $V-E+F=2$ ·
정다면체: ①모든 면이 합동인 정다각형 ②각 꼭짓점에 모인 면의 수가 같음 ·
회전체: 평면도형을 직선(축) 주위로 1회전시켜 만든 입체
유형 3 · H1
한 꼭짓점에 정삼각형 6개가 모이면 정다면체가 만들어질까요? 그 이유와 함께 답하세요.
🤔 잠깐, 손으로 풀어보세요
정삼각형 한 내각은 몇 도인가요? 6개가 모이면 각의 합이 어떻게 될지 계산해봐요.
1단계 · Page 1
입체가 만들어지는 조건
왜 이 단계? — 정다면체가 만들어지려면 꼭짓점에서 각의 합이 얼마여야 하는지 알아야 해요.
📖 용어 노트
꼭짓점 각의 합 조건: 입체가 되려면 꼭짓점에 모인 각의 합이 360°보다 작아야 해요
왜 360°보다 작아야 하나요?
여러 면이 한 꼭짓점에서 만나 입체로 "솟아오르려면" 각의 합이 완전히 평면($360°$)이 되지 않아야 해요.
각의 합 < $360°$ → 입체 가능
각의 합 $= 360°$ → 평면 (입체 불가)
각의 합 > $360°$ → 불가능 (면이 겹침)
정삼각형 정다면체 3종
정삼각형 3개: $3 \times 60° = 180°$ → 정사면체 ✓
정삼각형 4개: $4 \times 60° = 240°$ → 정팔면체 ✓
정삼각형 5개: $5 \times 60° = 300°$ → 정이십면체 ✓
2단계 · Page 2
정삼각형 6개 분석
왜 이 단계? — 6개가 모일 때 각의 합을 직접 계산해요.
📖 용어 노트
정삼각형 한 내각 = $60°$
각의 합 계산
$6 \times 60° = 360°$
360°! 이는 정확히 평면이에요.
결론
각의 합이 $360°$이면 평면이 되어 입체가 만들어지지 않아요.
$6 \times 60° = 360°$ → 평면 (벌집 모양) → 정다면체 불가
실제로 정삼각형 6개를 한 점에 모아보면 육각형 타일 모양(벌집)이 되어 평면에 깔려요.
3단계 · Page 3
정다면체가 5종뿐인 이유
왜 이 단계? — 이 문제의 더 큰 맥락, 왜 정다면체가 정확히 5종인지 이해해요.
📖 용어 노트
5가지 정다면체: 정사면체(4), 정육면체(6), 정팔면체(8), 정십이면체(12), 정이십면체(20)
각 정다각형별 가능 개수
정삼각형(60°): 3·4·5개 가능 (3종)
정사각형(90°): 3개만 (3×90°=270°) — 4개 = 360° 평면
정오각형(108°): 3개만 (3×108°=324°) — 4개 = 432° 불가
정육각형(120°): 3개 = 360° → 평면 → 불가
→ 총 5종의 정다면체만 가능해요.
정답 · Page ★
정답 + 풀이 흐름 요약
📖 용어 노트
정다면체 조건: 꼭짓점 각의 합 < $360°$
아니요. 평면이 되어 입체가 만들어지지 않아요.
$6 \times 60° = 360°$ → 평면 (벌집 무늬)
전체 풀이 흐름 — 3단계
1
입체 조건: 꼭짓점에 모인 각의 합 < 360°
2
정삼각형 6개: $6 \times 60° = 360°$ → 360°와 같으므로 평면이 됨
3
정삼각형 정다면체는 3·4·5개가 모일 때만 가능 → 정사면체·정팔면체·정이십면체
⚠️ 이 유형의 핵심
정다면체가 5종뿐인 이유는 각의 합이 360° 미만이어야 하는 조건 때문이에요. 수학적으로 딱 5가지 경우만 허용돼요.