문제 · Page 0
단계별로 풀어볼까요?
정답은 마지막에 확인해요. 먼저 스스로 생각해보고, 막히면 다음 단계로 넘어가세요.
📖 용어 노트
다면체: 다각형으로만 둘러싸인 입체도형 ·
꼭짓점(V)·모서리(E)·면(F) ·
오일러 공식: $V-E+F=2$ ·
정다면체: ①모든 면이 합동인 정다각형 ②각 꼭짓점에 모인 면의 수가 같음 ·
회전체: 평면도형을 직선(축) 주위로 1회전시켜 만든 입체
유형 1 · H3
정육면체의 한 꼭짓점을 잘라내서 새 입체를 만들었어요. 새 입체의 $V$ (꼭짓점 수), $E$ (모서리 수), $F$ (면 수)는 각각 얼마나 변하나요?
① $V$ +2, $E$ +3, $F$ +1
② $V$ −1, $E$ 0, $F$ +1
③ $V$ +2, $E$ +3, $F$ 0
④ $V$ +1, $E$ +1, $F$ +1
🤔 잠깐, 손으로 풀어보세요
정육면체에서 꼭짓점 하나를 자르면 그 자리에 어떤 모양이 생길까요? 새로운 꼭짓점, 모서리, 면이 몇 개 생기고 몇 개가 없어질지 생각해봐요.
1단계 · Page 1
정육면체에서 꼭짓점을 자르면?
왜 이 단계? — 자르는 장면을 구체적으로 상상해요. 한 꼭짓점에는 모서리 3개와 면 3개가 만나요.
📖 용어 노트
정육면체: $V=8, E=12, F=6$ ·
한 꼭짓점에는 모서리 3개와 면 3개가 만남
정육면체 꼭짓점의 구조
정육면체의 한 꼭짓점에는 3개의 모서리와 3개의 면이 만나요.
한 꼭짓점 → 연결된 모서리 3개, 만나는 면 3개
꼭짓점을 "잘라내면"
꼭짓점 부분을 작은 삼각형으로 잘라내면 어떻게 될까요?
사라지는 것: 원래 꼭짓점 1개
새로 생기는 것: 자른 자리에 삼각형 면 1개 + 그 꼭짓점 3개 + 그 모서리 3개
자른 자리에 작은 정삼각형이 생겨요.
2단계 · Page 2
V, E, F 변화 계산
왜 이 단계? — 새로 생기는 것과 없어지는 것을 더하고 빼요.
📖 용어 노트
V=꼭짓점, E=모서리, F=면
꼭짓점 V 변화
원래 꼭짓점 1개 사라짐: $-1$
새 삼각형의 꼭짓점 3개 생김: $+3$
$\Delta V = -1 + 3 = +2$
모서리 E 변화
원래 모서리는 그대로 (단지 짧아짐): $0$
새 삼각형의 모서리 3개 생김: $+3$
$\Delta E = 0 + 3 = +3$
원래 3개의 모서리는 없어지는 게 아니라, 끝부분만 잘려 짧아지는 거예요. 개수는 그대로예요.
면 F 변화
원래 면들은 그대로 (단지 작아짐): $0$
새 삼각형 면 1개 생김: $+1$
$\Delta F = 0 + 1 = +1$
원래 3개의 면은 꼭짓점 부분만 잘렸을 뿐, 사라지지 않아요.
3단계 · Page 3
오일러 공식으로 검산
왜 이 단계? — 새 입체의 V, E, F를 오일러로 확인해요.
📖 용어 노트
오일러 공식: $V-E+F=2$ ·
정육면체: $V=8, E=12, F=6$
새 입체의 V, E, F
$V = 8 + 2 = 10$
$E = 12 + 3 = 15$
$F = 6 + 1 = 7$
오일러 검산
$V - E + F = 10 - 15 + 7 = 2$ ✓
완벽! 오일러 공식 만족.
💡 흥미로운 점
정육면체에서 꼭짓점 하나를 자른 새 입체는 칠면체 (7면)예요. 오각기둥과 같은 V, E, F를 가져요!
두 입체가 달라 보여도 오일러 공식 값은 항상 2.
정답 · Page ★
정답 + 풀이 흐름 요약
📖 용어 노트
오일러 공식: $V-E+F=2$ · 꼭짓점 자르기 → 삼각형 면 1개 추가
① $V$ +2, $E$ +3, $F$ +1
새 입체: $V=10, E=15, F=7$ → $10-15+7=2$ ✓
전체 풀이 흐름 — 4단계
1
정육면체 한 꼭짓점에는 모서리 3개·면 3개가 만남을 파악
2
자르면: 꼭짓점 1개 사라지고 새 삼각형 꼭짓점 3개 생김 → $\Delta V = +2$
3
모서리 3개 새로 생김 → $\Delta E = +3$, 삼각형 면 1개 새로 생김 → $\Delta F = +1$
⚠️ 이 유형의 핵심 함정
"꼭짓점이 없어지니 $V-1$"이라고만 생각하면 틀려요. 자른 자리에 새 꼭짓점 3개가 생겨서 결국 $+2$예요.