다음 입체도형 중 다면체가 아닌 것은?
① 정육면체 ② 삼각기둥 ③ 원기둥 ④ 사각뿔
다면체는 모든 면이 평면 다각형. 곡면 있으면 회전체.
③ 원기둥
원기둥은 옆면이 곡면 → 회전체이지 다면체가 아니에요. 나머지는 모두 평면 다각형 면뿐 → 다면체.
정육면체에서 면, 모서리, 꼭짓점의 수를 차례대로 쓰세요.
① $6, 8, 12$ ② $6, 12, 8$ ③ $8, 12, 6$ ④ $4, 6, 4$
주사위를 떠올려봐요.
② 면 6, 모서리 12, 꼭짓점 8
주사위처럼 정육면체의 윗·아래·앞·뒤·좌·우 = 6면. 각 면에 4개의 변 = 24, 모서리 1개당 2면이 공유 → 12. 꼭짓점은 위 4 + 아래 4 = 8.
검산 (오일러): $V - E + F = 8 - 12 + 6 = 2$ ✓
아래 입체도형의 면의 수는?
① 3 ② 4 ③ 5 ④ 6
밑면 2개 + 옆면 몇 개?
③ 5
삼각기둥 = 삼각형 밑면 2개 + 직사각형 옆면 3개 = 5면 (오면체).
다음 입체 중 다면체인 것을 모두 고르면?
ㄱ. 사각뿔 ㄴ. 원뿔 ㄷ. 정십이면체 ㄹ. 구 ㅁ. 오각기둥
① ㄱ, ㄴ ② ㄱ, ㄷ, ㅁ ③ ㄱ, ㄷ, ㄹ ④ ㄴ, ㄹ, ㅁ
곡면 있는 것 (회전체)을 빼면 다면체.
② ㄱ, ㄷ, ㅁ
다면체: ㄱ 사각뿔(평면 5면), ㄷ 정십이면체(평면 12면), ㅁ 오각기둥(평면 7면).
회전체: ㄴ 원뿔(곡면 옆면), ㄹ 구(전체 곡면).
면이 5개인 다면체를 무엇이라고 부르나요?
① 오면체 ② 다섯각형 ③ 정오면체 ④ 오각형
"면이 $n$개인 다면체 = ___면체"
① 오면체
면 수에 따라 사면체·오면체·육면체... 라고 불러요. (사각형 = 변이 4인 다각형이지만, 사면체는 면이 4인 입체.)
⚠️ "정오면체"는 존재하지 않아요 — 정다면체는 사·육·팔·십이·이십면체 5종뿐!
정팔면체에서 한 꼭짓점에 모이는 면의 수는?
① 3 ② 4 ③ 5 ④ 6
두 정사면체 결합 같은 모양이에요 (위·아래 마름모 두 개).
② 4
정팔면체는 위 꼭짓점에서 4개 정삼각형, 아래 꼭짓점도 4개, 옆 4개 꼭짓점에서도 각 4개 정삼각형이 모여요. 즉 모든 꼭짓점에서 면 4개씩.
한 꼭짓점 각의 합 = $4 \times 60° = 240° < 360°$ → 입체 가능.
어떤 다면체의 꼭짓점이 $10$, 모서리가 $15$ 일 때, 이 다면체의 면의 수는? (오일러 공식: $V - E + F = 2$)
$F = 2 - V + E$.
면 7개 (칠면체)
$V - E + F = 2$
$10 - 15 + F = 2$
$F = 2 + 15 - 10 = 7$.
예시: 오각기둥의 $V=10, E=15, F=7$ ✓
사각기둥 위에 사각뿔을 (사각뿔의 밑면이 사각기둥의 윗면과 정확히 일치하도록) 얹어서 만든 입체의 꼭짓점·모서리·면 수는?
① $V=8, E=12, F=6$ ② $V=9, E=16, F=9$ ③ $V=9, E=12, F=5$ ④ $V=10, E=20, F=12$
두 입체의 합쳐지는 면(공유면)은 사라져요. 모서리는 공유, 꼭짓점도 공유.
② $V=9, E=16, F=9$
사각기둥 단독: $V=8, E=12, F=6$.
사각뿔 단독: $V=5, E=8, F=5$.
합칠 때 공유: 꼭짓점 4 (사각형 윗면 4꼭짓점) + 모서리 4 + 면 1 (사각형 면 — 두 입체 사이에서 사라짐).
$V = 8+5-4 = 9$
$E = 12+8-4 = 16$
$F = 6+5-2 = 9$ (사라지는 사각형 면 1개를 양쪽에서 빼기)
검산 (오일러): $9-16+9 = 2$ ✓
정육면체의 한 꼭짓점을 잘라내서 새 입체를 만들었어요. 새 입체의 $V$ (꼭짓점 수), $E$ (모서리 수), $F$ (면 수) 는 각각 얼마나 변하나요?
① $V$ +2, $E$ +3, $F$ +1 ② $V$ −1, $E$ 0, $F$ +1 ③ $V$ +2, $E$ +3, $F$ +0 ④ $V$ +1, $E$ +1, $F$ +1
한 꼭짓점을 자르면 그 꼭짓점이 사라지고, 자른 자리에 새 면(삼각형) + 새 꼭짓점·모서리가 생겨요.
① $V$ +2, $E$ +3, $F$ +1
원래 정육면체 꼭짓점 1개 사라짐, 자른 자리에 정삼각형 1면 + 그 꼭짓점 3개 + 모서리 3개 새로 생김.
$V$: $-1 + 3 = +2$
$E$: $0 + 3 = +3$
$F$: $0 + 1 = +1$
검산 (오일러): 새 입체 $V = 10, E = 15, F = 7$ → $10 - 15 + 7 = 2$ ✓