문제 · Page 0
단계별로 풀어볼까요?
정답은 마지막에 확인해요. 먼저 스스로 생각해보고, 막히면 다음 단계로 넘어가세요.
📖 용어 노트
다면체: 다각형으로만 둘러싸인 입체도형 ·
꼭짓점(V)·모서리(E)·면(F) ·
오일러 공식: $V-E+F=2$ ·
정다면체: ①모든 면이 합동인 정다각형 ②각 꼭짓점에 모인 면의 수가 같음 ·
회전체: 평면도형을 직선(축) 주위로 1회전시켜 만든 입체
유형 1 · H2
사각기둥 위에 사각뿔을 (사각뿔의 밑면이 사각기둥의 윗면과 정확히 일치하도록) 얹어서 만든 입체의 꼭짓점·모서리·면 수는?
① $V=8, E=12, F=6$ ② $V=9, E=16, F=9$ ③ $V=9, E=12, F=5$ ④ $V=10, E=20, F=12$
🤔 잠깐, 손으로 풀어보세요
두 입체를 그냥 더하면 안 되는 이유가 있어요. 합칠 때 어떤 것이 사라지거나 공유될까요?
1단계 · Page 1
각 입체의 V, E, F 따로 세기
왜 이 단계? — 먼저 각 입체를 개별적으로 파악해야 합칠 때 어떤 부분이 공유되는지 알 수 있어요.
📖 용어 노트
사각기둥: $n=4$ 각기둥 → $V=2n=8$, $E=3n=12$, $F=n+2=6$ ·
사각뿔: $n=4$ 각뿔 → $V=n+1=5$, $E=2n=8$, $F=n+1=5$
사각기둥 단독
꼭짓점 $V = 8$ (위 4 + 아래 4)
모서리 $E = 12$ (위 4 + 아래 4 + 옆 4)
면 $F = 6$ (위 1 + 아래 1 + 옆 4)
오일러 검산: $8 - 12 + 6 = 2$ ✓
사각뿔 단독
꼭짓점 $V = 5$ (꼭짓점 1 + 밑면 4)
모서리 $E = 8$ (밑면 4 + 옆 4)
면 $F = 5$ (밑면 1 + 옆면 4)
오일러 검산: $5 - 8 + 5 = 2$ ✓
🤔 다음 생각
두 입체를 붙이면 사각기둥의 윗면(사각형)과 사각뿔의 밑면(사각형)이 정확히 겹쳐요. 이 때 무엇이 없어지거나 공유될까요?
2단계 · Page 2
공유되는 부분 파악하기
왜 이 단계? — 두 입체가 맞닿는 면에서 꼭짓점·모서리·면이 어떻게 되는지 분석해요.
📖 용어 노트
공유면: 두 입체가 붙을 때 서로 맞닿아 사라지는 면 ·
공유 꼭짓점/모서리: 두 입체에서 동일한 위치의 것 (하나로 합쳐짐)
맞닿는 사각형 면에서 일어나는 일
사각기둥의 윗면(사각형) = 사각뿔의 밑면(사각형)이 완전히 겹쳐요.
공유 꼭짓점: 4개 (사각형의 4꼭짓점)
공유 모서리: 4개 (사각형의 4변)
사라지는 면: 2개 (사각기둥 윗면 1 + 사각뿔 밑면 1 — 내부로 들어가서 보이지 않음)
⚠️ 핵심 주의
면이 "사라지는" 이유: 두 입체가 완전히 붙으면 그 사이 면은 내부 면이 되어 다면체의 면으로 세지 않아요.
→ 사각기둥 윗면 1개 + 사각뿔 밑면 1개 = 2개 빼기!
3단계 · Page 3
V, E, F 계산하기
왜 이 단계? — 각 입체 합산에서 공유 부분을 빼요.
📖 용어 노트
V=꼭짓점, E=모서리, F=면
꼭짓점 V 계산
사각기둥 $V = 8$ + 사각뿔 $V = 5$ − 공유 꼭짓점 $4$
$V = 8 + 5 - 4 = 9$
모서리 E 계산
사각기둥 $E = 12$ + 사각뿔 $E = 8$ − 공유 모서리 $4$
$E = 12 + 8 - 4 = 16$
면 F 계산
사각기둥 $F = 6$ + 사각뿔 $F = 5$ − 사라지는 면 $2$
$F = 6 + 5 - 2 = 9$
4단계 · Page 4
오일러 공식으로 검산!
왜 이 단계? — 계산 결과가 맞는지 오일러 공식으로 확인해요.
📖 용어 노트
오일러 공식: $V-E+F=2$ · 모든 볼록 다면체에서 성립
오일러 공식 검산
$V - E + F = 9 - 16 + 9 = 2$ ✓
완벽해요! 오일러 공식이 성립하므로 계산이 맞아요.
💡 큰 그림
두 다면체를 붙일 때의 공식:
$V_\text{새} = V_1 + V_2 - V_\text{공유}$
$E_\text{새} = E_1 + E_2 - E_\text{공유}$
$F_\text{새} = F_1 + F_2 - F_\text{사라짐} \times 2$
(면은 양쪽에서 각각 1개씩 사라지므로 2배)
정답 · Page ★
정답 + 풀이 흐름 요약
📖 용어 노트
오일러 공식: $V-E+F=2$
② $V=9,\ E=16,\ F=9$
오일러 검산: $9-16+9=2$ ✓
전체 풀이 흐름 — 5단계
3
공유 부분 파악: 공유 꼭짓점 4, 공유 모서리 4, 사라지는 면 2(양쪽 각 1)
4
$V=8+5-4=9$, $E=12+8-4=16$, $F=6+5-2=9$
⚠️ 이 유형의 핵심 함정
면을 뺄 때 1이 아닌 2를 빼야 해요 — 사각기둥 윗면(1개)과 사각뿔 밑면(1개), 두 면이 모두 없어지거든요.