문제 · Page 0
단계별로 풀어볼까요?
정답은 마지막에 확인해요. 먼저 스스로 생각해보고, 막히면 다음 단계로 넘어가세요.
📖 용어 노트
다면체: 다각형으로만 둘러싸인 입체도형 ·
꼭짓점(V)·모서리(E)·면(F) ·
오일러 공식: $V-E+F=2$ ·
정다면체: ①모든 면이 합동인 정다각형 ②각 꼭짓점에 모인 면의 수가 같음 ·
회전체: 평면도형을 직선(축) 주위로 1회전시켜 만든 입체
유형 1 · H1
어떤 다면체의 꼭짓점이 $10$, 모서리가 $15$ 일 때, 이 다면체의 면의 수는?
(오일러 공식: $V - E + F = 2$)
🤔 잠깐, 손으로 풀어보세요
$V = 10$, $E = 15$ 로 주어졌어요. 오일러 공식에 대입해서 $F$를 직접 구해봐요.
1단계 · Page 1
오일러 공식이 뭔가요?
왜 이 단계? — 공식의 의미를 제대로 알아야 올바르게 적용해요.
📖 용어 노트
다면체: 다각형으로만 둘러싸인 입체도형 · V=꼭짓점, E=모서리, F=면 · 오일러 공식: $V-E+F=2$
오일러 공식
모든 볼록 다면체에 대해 다음이 항상 성립해요:
$V - E + F = 2$
(꼭짓점 수) − (모서리 수) + (면 수) = 2
이 공식은 레온하르트 오일러가 발견했어요. 어떤 다면체라도 (볼록 다면체) 항상 성립해요.
검산 예시 — 정육면체
정육면체: $V = 8$, $E = 12$, $F = 6$
$8 - 12 + 6 = 2$ ✓
삼각기둥: $V = 6$, $E = 9$, $F = 5$ → $6 - 9 + 5 = 2$ ✓
2단계 · Page 2
공식에 대입해요
왜 이 단계? — $V$와 $E$가 주어졌으니, $F$에 대해 풀면 돼요.
📖 용어 노트
V=꼭짓점, E=모서리, F=면 · 오일러 공식: $V-E+F=2$
주어진 조건 정리
꼭짓점 $V = 10$
모서리 $E = 15$
면 $F = ?$
오일러 공식에 대입
$V - E + F = 2$
$10 - 15 + F = 2$
$-5 + F = 2$
$F = 2 + 5 = 7$
💡 검산해볼까요?
$V = 10$, $E = 15$, $F = 7$ → $10 - 15 + 7 = 2$ ✓
어떤 다면체일까요? 오각기둥! 오각기둥은 $V = 10$, $E = 15$, $F = 7$ 이에요.
3단계 · Page 3
답 확정 + 다면체 이름 추측
왜 이 단계? — 계산 마무리 + 오각기둥으로 검증해봐요.
📖 용어 노트
오각기둥: $n=5$인 각기둥 → $V=2n=10$, $E=3n=15$, $F=n+2=7$
오각기둥 검증
면 수 $F = 7$인 다면체 예시 = 오각기둥
오각기둥 = 오각형 밑면 2개 + 직사각형 옆면 5개 = $F = 7$
꼭짓점: 위 5개 + 아래 5개 = $V = 10$ ✓
모서리: 위 5개 + 아래 5개 + 옆 5개 = $E = 15$ ✓
⚠️ 흔한 실수
$F = 2 - V + E$ 로 쓸 때 부호를 헷갈리기 쉬워요.
$V - E + F = 2$ → $F = 2 - V + E = 2 - 10 + 15 = 7$ ✓
$V$와 $E$ 순서를 바꾸지 않도록 해요.
정답 · Page ★
정답 + 풀이 흐름 요약
📖 용어 노트
오일러 공식: $V-E+F=2$ · 모든 볼록 다면체에서 성립
면의 수 $F = 7$ (칠면체)
예: 오각기둥 $V=10, E=15, F=7$
전체 풀이 흐름 — 3단계
1
오일러 공식 $V - E + F = 2$ 확인
2
주어진 값 대입: $10 - 15 + F = 2$
3
$F = 7$ 계산 후 오일러 검산 $10 - 15 + 7 = 2$ ✓
⚠️ 이 유형의 핵심
오일러 공식 $V - E + F = 2$는 V, E, F 중 두 개를 알면 나머지 하나를 반드시 구할 수 있어요. 항상 공식 기억 + 검산!