문제 · Page 0
단계별로 풀어볼까요?
정답은 마지막에 확인해요. 먼저 스스로 생각해보고, 막히면 다음 단계로 넘어가세요.
📖 용어 노트
$n$각형 내각의 합: $(n-2)\times180°$ · $n$각형 외각의 합: 항상 $360°$ ($n$에 무관) · 정$n$각형 한 내각: $(n-2)\times180°\div n$ · 대각선 수: $n(n-3)\div2$ · 대각선: 이웃하지 않는 두 꼭짓점을 잇는 선분
유형 2 · H3
두 다각형의 변의 수가 각각 $n$, $n+3$이고, 두 다각형의 대각선 수의 차가 33이다. $n$의 값을 구하시오.
🤔 잠깐, 손으로 풀어보세요
두 다각형 각각의 대각선 수를 $n$으로 표현해 보세요. 그 차가 33이라는 등식을 세워봐요.
1단계 · Page 1
두 대각선 수를 각각 표현해요
왜 이 단계? — 공식에 각각의 변의 수를 대입해 두 식을 준비해야 해요.
📖 용어 노트
대각선 수: $n(n-3)\div2$
첫 번째 다각형 ($n$각형)
대각선 수 $= \dfrac{n(n-3)}{2}$
두 번째 다각형 ($n+3$각형)
대각선 수 $= \dfrac{(n+3)(n+3-3)}{2} = \dfrac{(n+3) \cdot n}{2} = \dfrac{n(n+3)}{2}$
🤔 계산 팁
$(n+3) - 3 = n$이라 계산이 깔끔해져요. 두 번째 다각형에서 $n-3$ 자리에 $(n+3)-3 = n$이 들어가요.
2단계 · Page 2
차 = 33으로 방정식 세우기
왜 이 단계? — 두 식의 차를 33으로 놓고 $n$을 구해요.
📖 용어 노트
대각선 수: $n(n-3)\div2$
방정식 설정
$\dfrac{n(n+3)}{2} - \dfrac{n(n-3)}{2} = 33$
좌변 정리
분모가 같으므로 분자만 계산해요:
$\dfrac{n(n+3) - n(n-3)}{2} = 33$
$\dfrac{n[(n+3) - (n-3)]}{2} = 33$
$\dfrac{n \times 6}{2} = 33$
$3n = 33$
$n = 11$
3단계 · Page 3
검산
왜 이 단계? — $n=11$이 실제로 조건을 만족하는지 확인해요.
📖 용어 노트
대각선 수: $n(n-3)\div2$
검산
$n = 11$이면 두 다각형은 11각형과 14각형:
11각형 대각선: $\dfrac{11 \times 8}{2} = 44$
14각형 대각선: $\dfrac{14 \times 11}{2} = 77$
차: $77 - 44 = 33$ ✓
💡 핵심 아이디어
$n(n+3) - n(n-3) = n \times 6$으로 인수분해되는 게 이 문제의 열쇠예요. 두 식의 차를 직접 계산하려 하면 복잡해지지만, $n$을 묶으면 순식간에 정리돼요.
정답 · Page ★
정답 + 풀이 흐름 요약
📖 용어 노트
$n$각형 내각의 합: $(n-2)\times180°$ · $n$각형 외각의 합: 항상 $360°$ · 대각선 수: $n(n-3)\div2$ · 대각선: 이웃하지 않는 두 꼭짓점을 잇는 선분
$n = 11$
(11각형과 14각형, 대각선 수 차 = 33)
전체 풀이 흐름
1
$n$각형 대각선: $\dfrac{n(n-3)}{2}$, $(n+3)$각형 대각선: $\dfrac{n(n+3)}{2}$
2
차 = 33: $\dfrac{n(n+3) - n(n-3)}{2} = 33$
3
인수분해: $\dfrac{n \times 6}{2} = 3n = 33$ → $n = 11$
4
검산: 11각형 44개, 14각형 77개, 차 = 33 ✓
⚠️ 이 유형의 핵심
두 공식의 차를 계산할 때 $n$을 공통 인수로 묶어 정리하면 깔끔해요. 전개하면 $n^2$끼리 소거되는 패턴을 꼭 기억해요.