육각형의 대각선의 총 개수를 구하시오.
$\dfrac{n(n-3)}{2}$, $n=6$ 대입.
9개
$\dfrac{6 \times (6-3)}{2} = \dfrac{6 \times 3}{2} = 9$
십각형의 대각선의 총 개수를 구하시오.
$n=10$ 대입.
35개
$\dfrac{10 \times (10-3)}{2} = \dfrac{10 \times 7}{2} = 35$
사각형의 대각선의 수와 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 수를 각각 구하시오.
$n=4$. 한 꼭짓점 = $n-3$, 전체 = $\dfrac{n(n-3)}{2}$.
전체 2개, 한 꼭짓점 1개
전체: $\dfrac{4 \times 1}{2} = 2$, 한 꼭짓점: $4 - 3 = 1$.
대각선의 수가 14개인 다각형은 몇각형인가?
$\dfrac{n(n-3)}{2} = 14$ → $n(n-3) = 28$. 정수 $n$ 찾기.
칠각형 ($n=7$)
$\dfrac{n(n-3)}{2} = 14$ → $n(n-3) = 28$.
$n=7$일 때 $7 \times 4 = 28$ ✓.
$n=7$ 칠각형.
대각선의 수가 27개인 다각형의 변의 수를 구하시오.
$\dfrac{n(n-3)}{2}=27$ → $n(n-3)=54$. 6×9, 7×?, 9×6 시도.
9개 (구각형)
$n(n-3) = 54$. $n=9$일 때 $9 \times 6 = 54$ ✓. 구각형, 변 9개.
팔각형과 십각형의 대각선의 수의 차를 구하시오.
팔각형 = 20, 십각형 = 35. 차 = ?
15개
팔각형: $\dfrac{8 \times 5}{2} = 20$
십각형: $\dfrac{10 \times 7}{2} = 35$
차 = $35 - 20 = 15$
"한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 수가 6개"인 다각형의 모든 대각선의 수를 구하시오.
한 꼭짓점 대각선 = $n-3 = 6$ → $n = 9$. 그 다음 전체 대각선 공식 적용.
27개
$n - 3 = 6$ → $n = 9$ (구각형).
전체 대각선 = $\dfrac{9 \times 6}{2} = 27$.
대각선의 수가 변의 수의 2배인 다각형은 몇각형인가?
$\dfrac{n(n-3)}{2} = 2n$. 양변에 2 곱하기.
칠각형 ($n=7$)
$\dfrac{n(n-3)}{2} = 2n$
$n(n-3) = 4n$
$n - 3 = 4$ (양변을 $n$으로 나눔, $n \neq 0$)
$n = 7$.
(검산: 칠각형 대각선 14개, 변 7개 → 14 = 2×7 ✓)
두 다각형의 변의 수가 각각 $n$, $n+3$이고, 두 다각형의 대각선 수의 차가 33이다. $n$의 값을 구하시오.
$\dfrac{(n+3)n}{2} - \dfrac{n(n-3)}{2} = 33$. 정리하면?
$n = 11$
$\dfrac{(n+3)n - n(n-3)}{2} = 33$
$\dfrac{n[(n+3) - (n-3)]}{2} = 33$
$\dfrac{n \times 6}{2} = 33$
$3n = 33$ → $n = 11$.
(검산: 11각형 대각선 $\dfrac{11 \times 8}{2}=44$, 14각형 대각선 $\dfrac{14 \times 11}{2} = 77$. 차 = $77 - 44 = 33$ ✓)