깊이 탐구 — 다각형 기초 (정의·대각선)

이 유형이 어려운 이유

다각형의 정의는 단순해 보이지만, "무엇이 다각형인가?"를 정확히 따져 보면 의외로 헷갈려요. 원·부채꼴·열린 도형 같은 경계 사례가 시험에서 자주 나와요.

핵심 체크리스트 3가지:
① 평면 위에 있는가? (입체 X)
② 선분으로만 이루어졌는가? (곡선 X)
③ 닫혀 있는가? (열린 도형 X)

핵심 아이디어 — $n$각형의 일관성

$n$각형에서 모든 수치는 $n$ 하나로 결정돼요. 이게 다각형 단원의 가장 큰 무기.

대상	$n$각형의 수
변의 수	$n$
꼭짓점의 수	$n$
한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선	$n - 3$
한 꼭짓점에서 분할되는 삼각형	$n - 2$
전체 대각선	$\dfrac{n(n-3)}{2}$
내각의 합	$180°(n-2)$
외각의 합	$360°$

변의 수 = 꼭짓점의 수는 다각형이 닫힌 도형이라서 생기는 결과예요. 한 변마다 끝점이 두 개고, 각 점은 두 변의 끝이라 항상 짝이 맞아요.

자주 하는 실수

❌

부채꼴이 다각형이라고 생각

부채꼴은 호(곡선)가 들어가서 다각형이 아니에요. 두 반지름은 선분이지만 호는 곡선.

❌

변의 수와 꼭짓점의 수가 다를 수 있다고 생각

다각형에서 변과 꼭짓점은 항상 같은 수예요. 닫혀 있는 한.

❌

"꼭짓점 6개에서 그을 수 있는 대각선" 질문에 6개라고 답

한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선은 $n-3$개 (이웃 두 점·자신 제외). 육각형이면 3개.

추가 문제

PROB 1

사면체(피라미드 같은 입체)가 다각형인지 판단하시오.

다각형 아님 — 다각형은 평면도형이어야 해요. 사면체는 입체. 사면체의 각 면은 삼각형이라 다각형이지만, 사면체 자체는 다각형이 아니에요.

PROB 2

변의 수가 13개인 다각형의 꼭짓점 수와 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선 수를 구하시오.

꼭짓점 = 13, 한 꼭짓점 대각선 = $13 - 3 = 10$.

🔗 연결 개념

이 유형을 확실히 이해하면 → 유형 2 (대각선의 수)로 자연스럽게 넘어가요. $n$각형의 정체성이 분명해지면 대각선 공식이 단순한 공식이 아니라 "왜 그래야 하는지" 이해돼요.

이 유형이 어려운 이유

대각선 공식 $\dfrac{n(n-3)}{2}$ 자체는 외울 수 있지만, "왜 $n-3$인지" "왜 ÷2 하는지"를 모르고 외우면 역산 문제(대각선 수 → $n$ 구하기)에서 막혀요.

핵심 아이디어 — 두 단계 도출

① 한 꼭짓점에서 $n-3$개

한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점까지 직선을 그어보면 $n-1$개. (자기 자신 제외)
그 중 이웃하는 두 꼭짓점으로 가는 2개는 변이지 대각선이 아님.
→ 대각선 = $(n-1) - 2 = n - 3$

한 꼭짓점에서 = $n - 3$

② 전체는 $\dfrac{n(n-3)}{2}$

꼭짓점이 $n$개니까, 각 꼭짓점마다 $(n-3)$개씩 합하면 $n(n-3)$개. 그런데 한 대각선은 양쪽 끝이 두 꼭짓점이라서 두 번 세어졌어요.
→ 전체 = $\dfrac{n(n-3)}{2}$

전체 = $\dfrac{n(n-3)}{2}$

역산 — 대각선 수 → $n$ 구하기

대각선 수가 주어지면 $n(n-3)$ = (대각선 수 × 2)인 정수 $n$을 찾아요. 자연수라는 조건이 있어 보통 한 가지 답만 나와요.

대각선 수	$n(n-3)$	$n$
5	10	5
9	18	6
14	28	7
20	40	8
27	54	9
35	70	10
54	108	12

팁: 대각선 수가 작으면 외워두는 게 빠름. 시험에 자주 나오는 7~10각형 대각선 수: 14, 20, 27, 35.

자주 하는 실수

❌

$n - 3$ 대신 $n - 2$로 헷갈림

$n - 2$는 분할 삼각형 수 (한 꼭짓점에서 대각선 $n-3$개를 그으면 $n-2$개의 삼각형이 만들어짐). 대각선 수 자체는 $n - 3$.

❌

전체 대각선 = $n(n-3)$ (÷2 빼먹기)

한 대각선이 두 꼭짓점에서 세어지므로 반드시 ÷2.

❌

"한 꼭짓점에서 대각선" 묻는데 전체 답 (또는 반대)

문제의 "한 꼭짓점" / "전체" 단어를 정확히 읽기.

추가 문제

PROB 1

한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선이 $7$개인 다각형의 모든 대각선의 수는?

한 꼭짓점에서 $n-3=7$ → $n=10$. 전체 대각선 = $\dfrac{10 \times 7}{2} = 35$.

PROB 2

대각선의 수가 $44$개인 다각형은 몇각형인가?

$\dfrac{n(n-3)}{2}=44$ → $n(n-3)=88$. $n=11$일 때 $11 \times 8 = 88$ ✓. 십일각형.

PROB 3

대각선의 수가 변의 수의 3배인 다각형은 몇각형인가?

$\dfrac{n(n-3)}{2} = 3n$ → $n(n-3) = 6n$ → $n - 3 = 6$ ($n \neq 0$) → $n = 9$. 구각형.

🔗 연결 개념

대각선 공식의 도출 정신("÷2는 중복을 빼는 것")은 가우스가 1+2+...+100을 풀던 방법과 같아요. 또한 분할 삼각형 수 ($n-2$)는 유형 4 (내각의 합)의 출발점.