문제 · Page 0

단계별로 풀어볼까요?

정답은 마지막에 확인해요. 먼저 스스로 생각해보고, 막히면 다음 단계로 넘어가세요.

📖 용어 노트 합동(≅): 두 도형이 모양과 크기가 완전히 같음 · 대응: 합동인 두 도형에서 서로 겹치는 꼭짓점·변·각 · SSS 합동: 세 변의 길이가 모두 같음 · SAS 합동: 두 변의 길이와 그 사이 각이 같음 · ASA 합동: 두 각의 크기와 그 사이 변의 길이가 같음

유형 3 · H3

삼각형 ABC에서 세 변의 수직이등분선을 모두 그렸더니 한 점 O에서 만났다. 점 O의 의미는?

🤔 잠깐, 손으로 풀어보세요 $\overline{AB}$의 수직이등분선 위 점 O → O와 A·B의 거리 관계는?
$\overline{BC}$의 수직이등분선 위 점 O → O와 B·C의 거리 관계는?
두 조건이 동시에 만족되면 O와 A, B, C 모두의 거리 관계가 어떻게 될까요?

1단계 · Page 1

각 수직이등분선이 알려주는 것

왜 이 단계? — 수직이등분선의 성질을 O에 적용해요.

📖 용어 노트 수직이등분선 위 점: 두 끝점에서 같은 거리

$\overline{AB}$ 수직이등분선 위 O

O가 $\overline{AB}$의 수직이등분선 위 → $\overline{OA} = \overline{OB}$

$\overline{BC}$ 수직이등분선 위 O

O가 $\overline{BC}$의 수직이등분선 위 → $\overline{OB} = \overline{OC}$

두 조건 합치기

$\overline{OA} = \overline{OB}$ (①)
$\overline{OB} = \overline{OC}$ (②)
① + ②: $\overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC}$

O는 세 꼭짓점 A, B, C 모두에서 같은 거리에 있어요!

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2단계 · Page 2

O에서 그리는 원 — 외접원

왜 이 단계? — OA = OB = OC라는 사실의 기하학적 의미를 끌어내요.

📖 용어 노트 외접원: 삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 원 · 외심: 외접원의 중심

원의 정의

원 = 중심에서 같은 거리(반지름)에 있는 모든 점들

O 중심, 반지름 $r = \overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC}$인 원
→ A, B, C 모두 이 원 위에 있음
→ O는 삼각형 ABC의 외접원의 중심 = 외심

세 수직이등분선이 항상 한 점에서 만나는 이유

삼각형이 주어지면 외접원이 반드시 존재하고 (세 점을 지나는 원은 항상 존재), 외심 O는 세 수직이등분선의 교점이에요.

삼각형 ABC → 외심 O 존재
O = $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ 수직이등분선의 교점
→ 세 수직이등분선은 반드시 한 점에서 만남

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3단계 · Page 3

$\overline{CA}$ 수직이등분선도 같은 점을 지나는가?

왜 이 단계? — 두 수직이등분선의 교점이 세 번째 수직이등분선도 통과한다는 것을 확인해요.

📖 용어 노트 수직이등분선 위 점: 두 끝점에서 같은 거리 (역도 성립)

O가 $\overline{CA}$ 수직이등분선 위임을 보이기

이미 알고 있는 것: $\overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC}$

$\overline{OC} = \overline{OA}$ (위에서)
→ 수직이등분선 성질(역): O는 $\overline{CA}$의 수직이등분선 위
→ O는 세 번째 수직이등분선도 지나감 ✓

따라서 두 수직이등분선의 교점이 세 번째 수직이등분선도 자동으로 지나가요.

⚠️ 외심의 위치 예각삼각형의 외심은 삼각형 내부, 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점, 둔각삼각형의 외심은 삼각형 외부에 있어요. (중3·고등에서 다시 만남)

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정답 · Page ★

정답 + 풀이 흐름 요약

📖 용어 노트 외심: 삼각형의 세 꼭짓점에서 같은 거리인 점 = 외접원의 중심

O는 삼각형 ABC의 외심 (외접원의 중심)
$\overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC}$ = 외접원 반지름

전체 풀이 흐름

1

O가 $\overline{AB}$ 수직이등분선 위 → $\overline{OA} = \overline{OB}$

2

O가 $\overline{BC}$ 수직이등분선 위 → $\overline{OB} = \overline{OC}$

3

합치면 $\overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC}$

4

O 중심 반지름 $\overline{OA}$의 원이 A·B·C 모두 지남 = 외접원

5

O = 외심. 세 수직이등분선이 항상 한 점에서 만나는 이유

⚠️ 핵심 통찰 수직이등분선의 성질("위 점은 두 끝점에서 등거리")을 두 번 적용하면 자동으로 세 꼭짓점에서 등거리인 점(외심)이 나와요. 이것이 수직이등분선의 가장 아름다운 결론이에요.

📚 이 유형 더 연습하고 싶다면

→ 유형 3 (수직이등분선) 다른 문제 연습

→ 깊이 탐구 — 이등분선 통합 앱

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