① $\overline{AB}$를 반으로 나누는 직선 ② $\overline{AB}$에 수직인 직선 ③ $\overline{AB}$의 중점을 지나면서 $\overline{AB}$에 수직인 직선 ④ $\overline{AB}$ 위 임의의 점을 지나는 직선
"수직" + "이등분" 두 조건이 동시에 만족돼야 해요.
③ ① 이등분 조건만 ✗ ② 수직 조건만 ✗ ③ 중점 통과(이등분) + 수직 — 두 조건 모두 ✓
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L
선분 $\overline{AB}$의 수직이등분선을 작도하는 절차로 옳은 것은? (가) A 중심 호 → B 중심 호 (같은 반지름) → 두 교점 P, Q를 자로 잇기 (나) A 중심 호 → B 중심 호 (다른 반지름) → 두 교점을 자로 잇기 (다) AB의 중점을 자로 표시 → 그 점에서 90°로 직선 긋기
두 호의 반지름이 같아야 두 호의 교점이 A·B에서 같은 거리예요.
(가) (가) 같은 반지름 → 교점이 A·B에서 같은 거리 → 수직이등분선 위 ✓ (나) 반지름 다르면 두 호의 교점이 A·B에서 다른 거리 → 수직이등분선 X (다) 자로 직접 중점·90°를 가정하는 건 작도 X
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L
선분 $\overline{AB}$의 수직이등분선을 PQ라 할 때, 다음 중 옳은 것은?
① $\overline{PA} = \overline{PB}$ ② $\overline{PA} > \overline{PB}$ ③ ∠PMA = 60° (M은 중점) ④ P는 항상 $\overline{AB}$ 위에 있다
수직이등분선 위 모든 점은 두 끝점에서 같은 거리예요.
① ① 수직이등분선 위 점 P → A·B에서 같은 거리 ✓ ② 같으므로 X ③ 수직이므로 90°, 60° X ④ P는 $\overline{AB}$ 밖에 있는 게 보통 X
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M
$\overline{AB} = 8$ cm이다. 수직이등분선을 작도할 때 컴퍼스 반지름으로 사용 가능한 길이를 모두 고르시오. (가) 3 cm (나) 4 cm (다) 5 cm (라) 8 cm (마) 10 cm
두 호가 만나려면 반지름이 $\overline{AB}/2$보다 커야 해요.
(다), (라), (마) 두 호가 만나려면 반지름 $r > 4$ cm여야 함 (= $\overline{AB}/2 = 4$). (가) $r = 3 < 4$ → 두 호 안 만남 X (나) $r = 4$ → 두 호가 한 점에서만 만남 (중점 위) → 수직 보장 X (다) $r = 5 > 4$ ✓ (라) $r = 8$ ✓ (마) $r = 10$ ✓
★ 너무 작은 반지름이 작도 함정. 일반적으로 $\overline{AB}$ 자체 길이로 잡으면 안전해요.
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M
선분 $\overline{AB}$의 수직이등분선 위에 점 P가 있다. $\overline{PA} = 7$ cm일 때 $\overline{PB}$의 길이는?
수직이등분선의 핵심 성질을 떠올려요.
$\overline{PB} = 7$ cm 수직이등분선 위 점 P는 $\overline{PA} = \overline{PB}$ (두 끝에서 같은 거리). 따라서 $\overline{PB} = 7$ cm.
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M
두 점 A, B에서 같은 거리에 있는 모든 점들의 모임은 어떤 도형인가?
수직이등분선의 정의를 거꾸로 생각해 봐요.
$\overline{AB}$의 수직이등분선 "두 점 A, B에서 같은 거리에 있는 점" = $\overline{PA} = \overline{PB}$인 점 P 이 조건을 만족하는 모든 점의 모임은 $\overline{AB}$의 수직이등분선 (직선). 특히, 중점 M도 이 모임에 들어가요. ($\overline{MA} = \overline{MB}$)
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H
수직이등분선 작도가 정확하다는 것을 합동을 사용해 설명하시오. (수직이등분선이 PQ, 중점 M일 때, 왜 ∠AMP = 90°인가?)
두 삼각형 APM과 BPM을 비교해 봐요.
삼각형 APM ≡ 삼각형 BPM (SSS) $\overline{PA} = \overline{PB}$ (호의 반지름 같음) $\overline{MA} = \overline{MB}$ (M이 PQ 위, 같은 논리) $\overline{PM}$ 공통 → SSS 합동 → ∠AMP = ∠BMP (대응각) 이 두 각은 평각을 이루므로 ∠AMP + ∠BMP = 180°. → ∠AMP = 90° ✓ → 따라서 PQ는 $\overline{AB}$에 수직.
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H
두 마을 A, B가 있다. 두 마을에서 똑같이 떨어진 곳에 우체국을 짓고 싶다. 가능한 위치를 모두 표현하면?
두 점에서 같은 거리에 있는 점의 자취는?
$\overline{AB}$의 수직이등분선 위 모든 점 두 마을 A, B에서 같은 거리에 있는 점 = 수직이등분선 위 점. 가능한 위치는 무수히 많고, 모두 $\overline{AB}$의 수직이등분선 위에 있어요. → 작도로 그 직선을 그리면 어디든 우체국 후보지로 가능. → 이게 수직이등분선의 실용적 의미예요.
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H
삼각형 ABC에서 세 변의 수직이등분선을 모두 그렸더니 한 점 O에서 만났다. 점 O의 의미는?
$\overline{AB}$의 수직이등분선 위 O → ? $\overline{BC}$의 수직이등분선 위 O → ? 두 조건이 모두 만족되면?
O는 세 꼭짓점 A, B, C에서 모두 같은 거리 $\overline{AB}$의 수직이등분선 위 O → $\overline{OA} = \overline{OB}$ $\overline{BC}$의 수직이등분선 위 O → $\overline{OB} = \overline{OC}$ → $\overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC}$ → O를 중심으로 반지름 OA로 원을 그리면 A·B·C 모두 지나감 = 삼각형의 외접원의 중심(외심) → 그래서 세 수직이등분선이 항상 한 점에서 만나는 것! (이건 「원론」의 우아한 결과 중 하나예요)