깊이 탐구 — 이등분선

수직이등분선 · 각의 이등분선 (2유형 통합)

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이 유형이 어려운 이유

"왜 두 호의 교점이 수직이등분선 위에 있는가?"가 처음엔 마법처럼 보여요. 단순한 단계지만 이유는 합동에서 나와요.

핵심 함정:
① 호 반지름이 $\overline{AB}/2$보다 작으면 두 호가 안 만남
② "수직이등분선 위 점은 두 끝점에서 같은 거리"라는 성질을 활용 못함

핵심 아이디어 — 두 끝에서 같은 거리

작도 절차 (4단계)

  • ① A 중심으로 호 (반지름 $r > \overline{AB}/2$)
  • ② 같은 반지름 $r$로 B 중심 호 → 두 교점 P, Q
  • ③ 자로 PQ 잇기 → 수직이등분선
  • ④ PQ가 AB를 만나는 점이 중점 M, ∠AMP = 90°
수직이등분선 위 점 P ⇔ $\overline{PA} = \overline{PB}$

왜 PQ가 수직이등분선인가? (SSS 합동)

두 호의 교점 P에서:
$\overline{PA} = r$ (A 중심 호 위)
$\overline{PB} = r$ (B 중심 호 위, 같은 반지름)
→ $\overline{PA} = \overline{PB}$
마찬가지로 Q도 두 끝에서 같은 거리.
"두 끝에서 같은 거리인 점들의 모임"이 곧 수직이등분선이에요.

▶ 더 엄밀하게 SSS 합동으로: 삼각형 APM과 BPM (M = AB와 PQ 교점)에서 $\overline{PA}=\overline{PB}, \overline{PM}$ 공통, $\overline{AM}=\overline{BM}$ → SSS → ∠AMP = ∠BMP, 둘의 합 180° → 90°.
자주 하는 실수
❌
호 반지름이 $\overline{AB}/2$보다 작음
두 호가 만나지 않아 작도 실패. 안전하게 $\overline{AB}$ 정도로 잡으면 됨.
❌
A·B 중심 호의 반지름을 다르게 잡음
다른 반지름이면 교점이 두 끝에서 같은 거리가 아님 → 수직이등분선 X.
❌
"수직이등분선 위 점 = 직선 위에서 같은 거리"라고 착각
"같은 거리"는 두 점 A, B에서의 거리, 즉 $\overline{PA} = \overline{PB}$. 직선 위 거리는 무관.
추가 문제 (점진적 난이도)
PROBLEM 1 (L)
$\overline{AB} = 10$ cm일 때, 수직이등분선 작도에 사용할 수 있는 컴퍼스 반지름은?
① 4 cm ② 5 cm ③ 6 cm ④ 12 cm
③ 6 cm, ④ 12 cm
$r > 10/2 = 5$ cm여야 두 호가 만남.
① 4 < 5 X
② 5 = 5 → 한 점에서만 만남(중점) → 수직 X
③ 6 > 5 ✓
④ 12 > 5 ✓
PROBLEM 2 (M)
두 점 A, B에서 같은 거리에 있고 $\overline{AB}$ 위에 없는 점이 존재하는가? 있다면 어떤 도형인가?
존재. AB의 수직이등분선 위 점 (중점 M 제외)
$\overline{PA} = \overline{PB}$인 점 P의 모임 = AB의 수직이등분선.
그 중 M(중점)은 AB 위, 나머지 모든 점은 AB 밖.
예: 직각삼각형의 빗변의 수직이등분선 위 한 점, 정삼각형의 꼭지점 등.
PROBLEM 3 (H)
사각형 ABCD가 있다. 네 변의 수직이등분선이 한 점에서 만나려면 사각형이 어떤 조건을 만족해야 할까?
네 꼭짓점이 한 원 위에 있어야 함 (원에 내접하는 사각형)
세 점이 한 원 위에 있다 = 그 세 점이 만드는 두 현의 수직이등분선이 한 점(=원의 중심)에서 만남.
네 꼭짓점이 모두 한 원 위에 있으면 4개 변(현)의 수직이등분선이 모두 그 중심을 지남 → 한 점에서 만남.
→ "원에 내접하는 사각형(circumscriptable)" 조건. 일반 사각형은 X.
→ 삼각형은 항상 외접원 가능. 사각형은 그렇지 않음 (일반적으로).
이 유형 이해 후 무엇이 쉬워지나
→ 외심·외접원 (중3, 고등) 이해
삼각형의 세 변의 수직이등분선이 한 점에서 만나는 점 = 외심. 외심에서 세 꼭짓점까지의 거리가 모두 같음 = 외접원의 반지름. 수직이등분선의 성질을 단단하게 알면 자연스럽게 이해돼요.
이 유형이 어려운 이유

각의 이등분선은 작도 절차가 수직이등분선과 비슷해 헷갈리기 쉬워요. 또한 "각의 이등분선 위 점은 두 변에서 같은 거리"라는 성질이 수직이등분선의 "두 끝에서 같은 거리"와 비슷하지만 다른 의미.

핵심 함정:
① 1단계 호의 반지름과 2·3단계 호의 반지름을 헷갈림
② "두 변에서의 거리"의 의미: 점에서 직선까지의 수직 거리

핵심 아이디어 — 두 변에서 같은 거리

작도 절차 (4단계)

  • ① O 중심 호 → OX, OY와 만나는 A, B
  • ② A 중심 호 (반지름 적당히)
  • ③ 같은 반지름으로 B 중심 호 → 교점 P
  • ④ 자로 OP 잇기 → 이등분선
각의 이등분선 위 점 P ⇔ 두 변에서 거리 같음

왜 OP가 ∠XOY를 이등분하는가? (SSS 합동)

삼각형 OAP와 OBP에서:
$\overline{OA} = \overline{OB}$ (① 같은 호의 반지름)
$\overline{AP} = \overline{BP}$ (② = ③ 같은 반지름)
$\overline{OP}$ 공통
→ SSS 합동 → ∠AOP = ∠BOP (대응각) → 이등분 ✓

이등분선 위 점의 성질 (★ 핵심)

이등분선 위 점 P에서 두 변 OX, OY로 내린 수선의 발을 H₁, H₂라 하면:
$\overline{OP}$ 공통, ∠POH₁ = ∠POH₂ (이등분), ∠PH₁O = ∠PH₂O = 90°
→ ASA 합동 → $\overline{PH_1} = \overline{PH_2}$
즉, 이등분선 위 점은 두 변에서 거리(수직 거리)가 같음.

▶ 역방향: 두 변에서 같은 거리에 있는 점 = 이등분선 위. 이 성질은 내심·내접원의 근거.
자주 하는 실수
❌
A 중심 호와 B 중심 호의 반지름을 다르게 잡음
$\overline{AP} = \overline{BP}$가 보장되지 않으면 SSS 합동 X → 이등분 보장 X.
❌
"임의의 각이 자와 컴퍼스로 항상 삼등분 가능"이라고 생각
이등분은 가능, 삼등분은 일반적으로 불가능 (그리스 3대 작도 불능 문제). 19세기에 증명됨.
추가 문제 (점진적 난이도)
PROBLEM 1 (L)
∠XOY = 120°일 때, 두 번 이등분 후의 각은?
30°
1번: $120° / 2 = 60°$
2번: $60° / 2 = 30°$
→ 자와 컴퍼스로 120°를 4등분.
PROBLEM 2 (M)
∠XOY의 이등분선 위 점 P에서 OX까지의 거리가 4cm이다. P에서 OY까지의 거리는?
4 cm
이등분선 위 점은 두 변에서 같은 거리 (수직 거리).
→ $\overline{PH_1} = \overline{PH_2} = 4$ cm.
PROBLEM 3 (H)
"내심"의 정의를 작도 관점에서 설명하시오. 삼각형 ABC에서 어떻게 작도하나? 내심의 성질은?
내심 = 세 내각의 이등분선의 교점
작도: 세 내각 ∠A, ∠B, ∠C의 이등분선을 각각 작도. 세 직선이 한 점 I에서 만남 (이게 내심).
왜 한 점에서?
∠A 이등분선 위 I → I는 변 AB·AC에서 같은 거리
∠B 이등분선 위 I → I는 변 BA·BC에서 같은 거리
→ I는 세 변 모두에서 같은 거리 → 그 거리만큼 반지름인 원이 세 변에 모두 닿음 (내접원)
성질: 내심에서 세 변까지의 거리 = 내접원의 반지름.
이 유형 이해 후 무엇이 쉬워지나
→ 내심·내접원 (중3, 고등) 이해
외심이 수직이등분선의 교점이라면, 내심은 각 이등분선의 교점이에요. 두 짝꿍 개념. 둘 다 "거리 같음"이라는 핵심 성질로 작도되고 증명돼요.