키, 제품의 무게, 측정 오차, 여러 번 던진 주사위의 평균. 서로 아무 상관없는 것들이 모두 같은 종 모양으로 모여요. 그래서 정규분포 하나만 알면 세상의 많은 것을 읽을 수 있어요. 읽는 방법도 하나예요. "평균에서 몇 σ(표준편차) 떨어졌나"로 바꾸는 것, 그게 표준화예요. 이 특강에서 종 모양이 왜 생기는지 직접 보고, 표준화로 넓이(확률)를 읽는 법을 익혀요.
주사위는 1부터 6이 똑같이 나와요(평평한 분포). 그런데 주사위를 $n$개 던져 평균을 내고, 그 평균을 히스토그램에 쌓아 보세요. $n=1$이면 평평하지만, $n$을 늘리면 가운데(3.5)로 몰리고 종 모양이 돼요. 버튼을 여러 번 눌러 쌓으세요.
두 가지가 보여요. 첫째, $n$이 커질수록 종 모양(정규분포)에 가까워져요. 원래 분포가 평평했는데도요. 둘째, 퍼진 정도(표준편차)가 $\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$로 줄어들어요. 주사위 4개 평균은 1개일 때보다 폭이 절반. 이것이 "표본이 크면 평균이 믿을 만하다"의 수학이에요.
주사위 1개의 표준편차는 약 $1.71$이에요. 주사위 $9$개를 던져 평균을 낼 때, 그 평균의 표준편차는 약 얼마? (소수 둘째 자리까지)
정규분포 $N(m,\sigma^2)$은 평균 $m$을 중심으로 좌우 대칭인 종 모양이에요. 곡선 아래 넓이가 확률이고 전체 넓이는 1. 모양은 $m$(위치)과 $\sigma$(폭) 두 숫자로 완전히 정해져요.
표준정규분포표는 $P(0\le Z\le z)$, 즉 가운데(0)부터 $z$까지의 넓이를 알려줘요. 자주 쓰는 값은 다섯 개면 충분해요.
| $z$ | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 1.96 | 2.58 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $P(0\le Z\le z)$ | 0.1915 | 0.3413 | 0.4332 | 0.4772 | 0.4938 | 0.4987 | 0.4750 | 0.4950 |
이항분포 $B(n,p)$도 $n$이 크면 종 모양이에요(위젯에서 본 그 현상). 그래서 정규분포로 근사해요.
표본평균 $\bar X$의 분포가 위젯의 결론이에요. 모집단이 $N(m,\sigma^2)$이면(또는 $n$이 크면) $\bar X\sim N\!\left(m,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)$. 이걸 뒤집으면 추정이에요: 표본평균 하나로 모평균이 있을 범위를 말해요.
$X\sim N(50,10^2)$ 일 때 $P(X\le 60)$ 은? (위 표를 써서 소수 넷째 자리까지)
어떤 정규분포 문제든 순서는 같아요: ① 그림을 그리고 원하는 넓이를 색칠 ② $z=\dfrac{x-m}{\sigma}$로 바꾸기 ③ 표에서 읽고 0.5를 더하거나 빼기. 슬라이더로 $z$를 움직이며 색칠된 넓이를 보세요.
표준화 연습이에요. 표 값(0.1915 / 0.3413 / 0.4332 / 0.4772)을 쓰세요.
네 유형 모두 그림 → 표준화 → 표예요. 표 값은 위의 표(0.5→0.1915, 1→0.3413, 1.5→0.4332, 2→0.4772, 1.96→0.4750, 2.58→0.4950)를 써요.
어떤 유형인지 알려주지 않아요. 그림부터 그리세요. 틀리면 어느 유형인지 알려주고 돌아가는 길을 열어 둘게요.
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