확률변수와 이산확률분포 · 이항분포

📋 "평균적으로 얼마"를 계산하는 법

💥 왜 배우나

주사위를 던져 나온 눈만큼 돈을 받는 게임. 참가비가 얼마면 공정할까요? 1부터 6이 각 $\frac16$이니 평균적으로 3.5를 받아요. 참가비 3,000원이면 이득, 4,000원이면 손해. 이 "평균적으로 얼마"가 기댓값이고, 복권·보험·게임 아이템의 가격이 전부 이 계산 위에 있어요. 그리고 동전을 100번 던져 앞면 수를 세면, 그 분포는 놀랍도록 규칙적인 종 모양이 돼요. 그게 이항분포예요.

🚪 종 모양이 왜 생기는지 먼저 보려면 → 관문 특강: 정규분포·표준화 감각 · 앞 단원 조건부확률과 독립(독립시행)

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하위헌스 (1629~1695) — 기댓값을 처음 체계화한 사람

토성의 고리를 발견한 천문학자 하위헌스는 1657년 「주사위 게임의 계산에 관하여」에서 "게임의 가치"라는 개념을 정리했어요. 오늘의 기댓값이에요. 파스칼·페르마의 편지 소식을 듣고 스스로 이론을 세운 뒤 책으로 냈고, 이 책이 반세기 동안 확률론의 표준 교재였어요. 확률에 "값"을 붙여 계산하는 습관이 여기서 시작됐어요.

📋 확률분포표와 기댓값 — 값 × 확률을 전부 더한다

확률변수 $X$가 0, 1, 2, 3을 가져요. 세 확률을 슬라이더로 정하면 나머지 하나가 자동으로 채워져요(합이 1). 확률을 바꾸면 기댓값(평균)과 분산·표준편차가 어떻게 움직이는지 보세요.

✅ 정의

이산확률변수 $X$의 확률분포 $P(X=x_i)=p_i$ ($p_i\ge0$, $\sum p_i=1$). 기댓값 $E(X)=\sum x_ip_i$ (값 × 확률의 합). 분산 $V(X)=E\big((X-m)^2\big)=E(X^2)-\{E(X)\}^2$. 표준편차 $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.

$P(X=1)=a$, $P(X=2)=2a$, $P(X=3)=3a$ 일 때 $a$와 $E(X)$는?

1확률의 합이 1: $a+2a+3a=1$ → $a=\dfrac16$.

2$E(X)=1\cdot\dfrac16+2\cdot\dfrac26+3\cdot\dfrac36=\dfrac{1+4+9}{6}$.

$a=\dfrac16$, $E(X)=\dfrac73$

동전 3개를 던져 나오는 앞면의 개수 $X$의 기댓값과 분산은?

1분포: $P(0)=\frac18, P(1)=\frac38, P(2)=\frac38, P(3)=\frac18$.

2$E(X)=\dfrac{0+3+6+3}{8}=\dfrac32$. $E(X^2)=\dfrac{0+3+12+9}{8}=3$.

3$V(X)=3-\left(\dfrac32\right)^2=3-\dfrac94$.

$E(X)=\dfrac32$, $V(X)=\dfrac34$

⚠️ 분산은 "제곱의 평균 − 평균의 제곱"

$E(X^2)$은 값을 제곱해서 확률을 곱한 합이에요. $\{E(X)\}^2$과 순서가 달라요. 둘을 헷갈리면 분산이 음수가 나오는데, 분산은 절대 음수가 아니에요.

🎲 잃는 돈은 음수로 — 공정한 게임이란

돈을 받기도 하고 내기도 하는 상황에서도 기댓값은 똑같이 값 × 확률의 합이다. 내는 돈을 음수 값으로 두기만 하면 된다.
예 — 동전을 던져 앞면이면 300 원을 받고 뒷면이면 100 원을 내는 게임
$E(X)=300 imes frac12+(-100) imes frac12=150-50=100$ 원
한 번 할 때마다 평균 100 원을 얻는 셈이라 참가비가 100 원이면 공정하다. 참가비가 150 원이면 매번 평균 50 원씩 손해다.
🔑 기댓값이 0 이면 공정한 게임이라고 한다. 손해도 이익도 아니라는 뜻이다.
⚠️ 기댓값은 실제로 일어나는 값이 아닐 수 있다. 위 게임에서 100 원을 받는 일은 한 번도 없지만 기댓값은 100 원이다 — 여러 번 했을 때 평균이 그렇다는 말이다.

🔄 $aX+b$ — 평균은 따라가고, 분산은 $a^2$배

주사위 눈 $X$($E=3.5$, $V\approx2.92$)를 $Y=aX+b$로 바꿔요. $b$를 더하면 분포가 통째로 밀리고(평균만 변함), $a$를 곱하면 퍼짐이 $|a|$배(분산은 $a^2$배). 슬라이더로 확인하세요.

✅ 변환 공식

$E(aX+b)=aE(X)+b$ · $V(aX+b)=a^2V(X)$ · $\sigma(aX+b)=|a|\sigma(X)$. 더하는 $b$는 퍼짐에 영향이 없고, 곱하는 $a$는 제곱으로 분산에 들어간다. $a$가 음수여도 분산은 양수.

$E(X)=3$, $V(X)=2$ 일 때 $E(2X+1)$, $V(2X+1)$, $\sigma(-3X)$ 는?

1$E(2X+1)=2\cdot3+1=7$.

2$V(2X+1)=2^2\cdot2=8$ ($+1$은 무관).

3$\sigma(-3X)=|-3|\sqrt2=3\sqrt2$.

$7$, $8$, $3\sqrt2$

⚠️ $V(aX+b)$에 $b$를 넣지 않는다

분산은 "평균에서 얼마나 퍼졌나"라서, 전부 $b$만큼 밀어도 퍼짐은 그대로예요. $V(2X+1)=4V(X)+1$처럼 쓰면 틀려요.

📊 이항분포 — 독립시행 $n$번의 성공 횟수

성공 확률 $p$인 시행을 $n$번 독립적으로 반복해 성공 횟수를 $X$라 하면 $X\sim B(n,p)$. $n$을 늘리고 $p$를 바꿔 막대 모양을 보세요. $n$이 커지면 종 모양이 되고, 평균은 $np$, 분산은 $npq$예요.

✅ 이항분포

$X\sim B(n,p)$: $P(X=r)={}_nC_r\,p^rq^{n-r}$ ($q=1-p$). $E(X)=np$, $V(X)=npq$, $\sigma(X)=\sqrt{npq}$. $n$이 충분히 크면 정규분포 $N(np,npq)$에 가깝다(다음 단원).

한 개의 주사위를 180번 던질 때 1의 눈이 나오는 횟수 $X$의 평균과 표준편차는?

1$X\sim B\!\left(180,\tfrac16\right)$.

2$E(X)=180\cdot\tfrac16=30$, $V(X)=180\cdot\tfrac16\cdot\tfrac56=25$.

평균 $30$, 표준편차 $5$

$X\sim B(n,p)$ 이고 $E(X)=20$, $V(X)=16$ 일 때 $n$과 $p$는?

1$np=20$, $npq=16$ → 나누면 $q=\dfrac{16}{20}=\dfrac45$ → $p=\dfrac15$.

2$n=20\div\dfrac15=100$.

$n=100$, $p=\dfrac15$

동전 3개를 던질 때 앞면이 2개 이상 나올 확률은? (이항분포로)

1$X\sim B(3,\tfrac12)$. $P(X=2)={}_3C_2\left(\tfrac12\right)^3=\dfrac38$, $P(X=3)=\dfrac18$.

$\dfrac48=\dfrac12$

🌐 세상 속으로

📌 어른이 되어도 기억할 것

기댓값 = 값 × 확률의 합. 복권·보험·게임 아이템의 "공정한 가격"은 전부 이 한 줄이다. 파는 쪽은 항상 기댓값보다 비싸게 판다.
분산은 퍼짐, 더하기는 퍼짐을 안 바꾼다. 모두에게 같은 보너스를 주면 평균만 오르고 격차는 그대로다.
독립시행을 반복하면 이항분포, 많이 하면 종 모양. 불량품 수·클릭 수·응답자 수, 세상의 "몇 번 중 몇 번"은 전부 이 분포.

💡 인사이트 — 위험은 분산이다

기댓값이 같은 두 선택이 있어요. 확실히 100만 원 받기와, 반반 확률로 0원 또는 200만 원 받기. 기댓값은 둘 다 100만 원이지만 분산이 달라요. 보험은 분산을 돈으로 사는 것이고, 투자의 "위험"이라는 말은 사실 수익률의 표준편차예요. 평균만 보는 사람과 분산까지 보는 사람의 결정이 갈리는 지점이에요.

🏠 기댓값·이항분포가 보이는 곳

🎟️

복권

기댓값은 판매가의 절반 정도

🛡️

보험

분산을 줄이는 대신 기댓값을 낸다

🎮

뽑기 100회

성공 횟수는 B(100, p)

🏭

불량품 수

B(n, 불량률) · 평균 np

📣

설문 응답

"예"라고 답한 사람 수

📈

투자 위험

수익률의 표준편차 = 변동성

🏭 산업과 직업

📑

보험·연금 설계
사고 확률과 보상금의 기댓값에 안전 마진을 더해 보험료를 정한다. 보험계리사의 핵심 계산.
🎓 통계학 · 보험계리 · 경제학

🏭

품질 관리
표본 n개 중 불량 r개가 나올 확률(이항분포)로 "합격/불합격" 검사 기준을 설계한다.
🎓 산업공학 · 통계학

🎲

게임·플랫폼 설계
아이템 확률과 보상 기댓값, 광고 클릭 수(이항분포)의 예측이 서비스 수익 모델의 뼈대.
🎓 컴퓨터공학 · 데이터과학

🔥 확률분포·이항분포 퀴즈

문제 1 / 10점수 0 / 10

✅ 정리

항목	내용
확률분포	$p_i\ge0$, $\sum p_i=1$ · 미지수는 합이 1로 결정
기댓값·분산	$E(X)=\sum x_ip_i$ · $V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2$ · $\sigma=\sqrt V$
$aX+b$	$E=aE(X)+b$ · $V=a^2V(X)$ · $\sigma=\|a\|\sigma(X)$
이항분포	$B(n,p)$: $_nC_rp^rq^{n-r}$ · $E=np$ · $V=npq$

🔑 한 줄 요약

값 × 확률을 더하면 평균, 제곱 평균에서 평균 제곱을 빼면 분산, 독립시행 $n$번은 $B(n,p)$.

자가 점검

확률분포표의 미지수를 합이 1로 구하고 기댓값을 계산할 수 있다

$V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2$으로 분산을 구할 수 있다

$aX+b$의 평균·분산·표준편차를 변환할 수 있다

이항분포의 $E$, $V$에서 $n$, $p$를 역으로 구할 수 있다

약점 태그

확통:기댓값·분산확통:aX+b확통:이항분포

➡️ 다음 단원

연속확률변수와 정규분포로. 확률과 통계 허브로.

📊 확률변수와 이산확률분포 · 이항분포