올라가지 않고 나무 높이를 재고, 자로 잴 수 없는 거리를 구하고, 각만으로 넓이를 구해요. 삼각비가 진짜 쓰이는 곳이에요.
단원 7에서 sin A = 높이/빗변 을 배웠죠. 거꾸로 쓰면 높이 = 빗변 × sin A. 빗변 20, A = 30° 인 직각삼각형이면 높이는 20 × 1/2 = 10 — 각 하나와 변 하나로 다른 변이 나와요. 이 한 줄이 이 단원 전부예요.
빗변을 알 때: 높이 = 빗변 × sin A, 밑변 = 빗변 × cos A
밑변을 알 때: 높이 = 밑변 × tan A
거꾸로(빗변을 구할 때): 빗변 = 높이 ÷ sin A = 밑변 ÷ cos A
고르는 법은 하나예요 — 아는 변과 구할 변이 둘 다 들어 있는 삼각비. 밑변을 알고 높이를 구한다면 둘 다 들어 있는 건 tan 뿐이에요.
땅에서 잰 거리가 밑변, 나무가 높이 — 그래서 높이 = d × tan A. 앙각이 45°면 높이 = 거리, 60°면 거리의 √3 배(약 1.73배)예요.
삼각비는 직각삼각형에서만 써요. 직각이 없는 삼각형은 한 꼭짓점에서 수선을 내려 직각삼각형 두 개로 나눠요. 그러면 높이 h가 두 삼각형에 공통으로 들어가요 — h = (한 변) × sin(그 변 끝의 각). 예: 삼각형에서 변 AC = 6, ∠A = 30° 이면 C에서 내린 높이는 h = 6 × sin 30° = 3.
건물 앞 10 m 지점에서 꼭대기를 올려다본 앙각이 60° 이면 높이 = 10 × tan 60° = 10√3 ≈ 17.3 m. 눈높이에서 쟀다면 눈높이를 더해요. 강 너비도 같아요 — 건너편 나무를 기준으로 강가에서 직각으로 걸어간 뒤 각을 재면 너비 = 걸어간 거리 × tan(각). 직접 갈 수 없는 곳의 길이를 각으로 대신 재는 거예요.
삼각형 넓이 = ½ × 밑변 × 높이. 두 변 a, b와 끼인각 C를 알면 높이 = b × sin C 이니까 넓이 = ½ ab sin C. 예: 두 변 6, 8, 끼인각 30° → ½ × 6 × 8 × ½ = 12. 끼인각이 둔각(예: 120°)이면 sin 120° = sin (180° − 120°) = sin 60° 으로 계산해요 — 높이는 어차피 양수니까요.
두 변 a, b와 끼인각 x인 평행사변형은 대각선으로 자르면 같은 삼각형 두 개 → 넓이 = ab sin x (½이 없어요). 두 대각선 p, q와 그 끼인각 x를 아는 사각형은 ½ pq sin x. 마름모·직사각형도 평행사변형이니 같은 식이에요.
정답 맞히기가 아니라, 이해한 걸 자기 말로 꺼내보는 거예요.
삼각형의 넓이 공식 ½ab sin C 에서 b sin C 는 예요. 끼인각이 둔각이면 sin 값은 의 값으로 계산해요.
b sin C 는 높이예요. 둔각이면 180° − C(보각)의 sin 값으로 계산해요.
나무 높이: ① 줄자로 나무까지 거리 d를 재고 ② 각도기로 꼭대기까지의 앙각 A를 잰 뒤 ③ 높이 = d × tan A (눈높이에서 쟀으면 눈높이를 더해요). 직각삼각형 하나를 땅과 나무로 만드는 거예요.
자기 말로 설명하면 돼요. 똑같지 않아도 괜찮아요.
개념은 잡았어요. 놀이터에서 게임으로 먼저 확인하고, 연습 문제로 손에 익혀요.
이 단원이 어렵게 느껴지나요?
📏 삼각비 처음 만나기 — 특수각을 삼각형을 잘라서 읽는 법이에요