삼각비(trigonometric ratios)

각이 같은 직각삼각형은 모두 닮음

중2 닮음에서 배웠죠 — 두 각이 같으면 닮음(AA). 직각삼각형은 이미 직각이 있으니 예각 하나만 같아도 전부 닮음이에요. 닮은 삼각형은 변의 비가 같아요. 그러니 "각 A가 30°"라는 말 하나로 높이 : 밑변 : 빗변의 비가 정해져요. 삼각형이 크든 작든 상관없이요. 이게 삼각비의 출발점이에요.

sin, cos, tan — 세 가지 비의 이름

직각삼각형에서 기준각 A를 정하면, A와 마주 보는 변이 높이, A에 붙어 있는(직각 아닌) 변이 밑변, 직각과 마주 보는 가장 긴 변이 빗변이에요.

외우는 요령: sin 은 높이가 위(빗변 분모), cos 는 밑변이 위(빗변 분모), tan 은 빗변 없이 높이/밑변. 셋 다 "기준각 A에서 본" 비예요 — 기준각이 바뀌면 높이와 밑변이 서로 바뀌어요.

각을 바꾸면 세 비가 어떻게 변할까요

빗변을 1로 고정하면 sin A = 높이, cos A = 밑변 그 자체예요. 각이 커질수록 sin은 커지고 cos은 작아져요. tan은 높이/밑변이라 각이 커질수록 빠르게 커져요.

30°, 45°, 60° — 두 개의 삼각형이면 돼요

정삼각형을 반으로 자르면 30°-60°-90° 삼각형(변의 비 1 : √3 : 2), 정사각형을 대각선으로 자르면 45°-45°-90° 삼각형(1 : 1 : √2). 이 두 삼각형에서 값을 읽으면 —

sin 은 30°→45°→60° 로 갈수록 1/2, √2/2, √3/2 — 분자의 근호 안이 1, 2, 3으로 커져요. cos 은 그 반대. 표를 외우기보다 두 삼각형을 그려서 읽는 연습이 오래 남아요.

세 비는 서로 이어져 있어요

tan A = sin A / cos A (높이/빗변 ÷ 밑변/빗변 = 높이/밑변). 그리고 피타고라스에서 (sin A)² + (cos A)² = 1. 또 직각삼각형의 다른 예각은 90° − A 라서 sin A = cos (90° − A) — sin 30° = cos 60° 예요. 하나를 알면 나머지가 따라 나와요.

사분원에서 읽는 삼각비

반지름이 1인 사분원 위의 점에서 직각삼각형을 만들면 빗변이 1이라 sin A = 세로 길이, cos A = 가로 길이, 그리고 tan A = 접선 위의 길이예요. 각을 0°까지 줄이면 세로가 0 → sin 0° = 0, cos 0° = 1, tan 0° = 0. 90°까지 키우면 sin 90° = 1, cos 90° = 0, tan 90° 은 정할 수 없어요(접선과 만나지 않아요).

삼각비의 표 — 특수각이 아닐 때

37° 같은 각은 삼각비의 표에서 소수 넷째 자리까지 읽어요. 표의 한 조각:

행(각)과 열(sin·cos·tan)이 만나는 칸을 읽어요. 거꾸로 값에서 각을 찾을 수도 있어요 — cos A = 0.7660 이면 A = 40°.

이제 직접 설명할 차례예요

정답 맞히기가 아니라, 이해한 걸 자기 말로 꺼내보는 거예요.

이해했으면, 놀이터로 먼저 가볼까요

개념은 잡았어요. 놀이터에서 게임으로 먼저 확인하고, 연습 문제로 손에 익혀요.