괄호를 펼치는 것과 다시 묶는 것 — 서로 반대 방향의 두 기술이에요. 넓이 그림 하나면 공식이 저절로 나와요.
중2에서 a(b + c) = ab + ac 를 배웠어요. 괄호가 두 개면 앞 괄호의 항 하나하나를 뒤 괄호에 나눠 곱해요: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. 이렇게 괄호를 펼쳐 정리하는 걸 전개라고 해요. 예: (x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6.
① (a + b)² = a² + 2ab + b²
② (a − b)² = a² − 2ab + b²
③ (a + b)(a − b) = a² − b² — 합과 차의 곱, 가운데 항이 사라져요
④ (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab — 가운데는 합, 끝은 곱
①에서 가장 많이 틀리는 곳이 2ab예요. (a + b)²은 a² + b²이 아니에요 — 아래 넓이 그림에서 그 이유를 봐요.
한 변이 x + a인 정사각형 = x² 한 칸 + ax 두 칸 + a² 한 칸. 그래서 가운데 항이 2ax예요 — 직사각형이 두 개니까요.
전개하면 a² − ab + ab − b² 에서 가운데 두 항이 서로 지워져요. 이 공식은 수 계산에서 빛나요: 101 × 99 = (100 + 1)(100 − 1) = 10000 − 1 = 9999. 곱셈 없이 답이 나와요.
전개의 반대 방향이에요. x² + 6x + 9 를 보고 (x + 3)² 으로 되돌리는 것. 방법은 순서대로 —
① 공통인수부터 묶어요: 2x² + 4x = 2x(x + 2)
② 완전제곱식인지: x² + 6x + 9 = (x + 3)² — 끝 항이 제곱수(9 = 3²)이고 가운데가 그 두 배(2 × 3 = 6)
③ 합차 꼴인지: x² − 25 = (x + 5)(x − 5)
x² + 5x + 6 을 인수분해하려면 곱해서 6, 더해서 5인 두 수를 찾아요. 곱이 6인 짝은 (1, 6), (2, 3) — 그중 합이 5인 건 2와 3. 그래서 (x + 2)(x + 3). 요령: 곱이 되는 짝을 먼저 나열하고 그중 합을 골라요. 부호도 짝에 넣어요 — x² − x − 6 은 곱이 −6, 합이 −1 → (−3, 2).
(a + b)² = a² + 2ab + b² 을 옮기면 a² + b² = (a + b)² − 2ab. 그래서 x + y = 5, xy = 6 만 알아도 x² + y² = 25 − 12 = 13 이 나와요. x, y를 몰라도 돼요. 수 계산도 마찬가지: 51² = (50 + 1)² = 2500 + 100 + 1 = 2601.
정답 맞히기가 아니라, 이해한 걸 자기 말로 꺼내보는 거예요.
(a + b)² = a² + ab + b² 예요. 가운데 항이 생기는 이유는 넓이 그림에서 직사각형이 개이기 때문이에요.
(a + b)² = a² + 2ab + b² — 직사각형이 2개예요.
한 변이 a + b인 정사각형을 그려 보면, 큰 정사각형(a²)과 작은 정사각형(b²) 사이에 가로 a·세로 b인 직사각형이 위와 옆에 하나씩 있어요. 그 둘의 넓이 ab + ab = 2ab 를 빠뜨리면 정사각형에 구멍이 나요.
자기 말로 설명하면 돼요. 똑같지 않아도 괜찮아요.
개념은 잡았어요. 놀이터에서 게임으로 먼저 확인하고, 연습 문제로 손에 익혀요.
이 단원이 어렵게 느껴지나요?
🧩 인수분해·전개 — 곱셈공식은 직사각형의 넓이예요