"(x + 3)² = x² + 9"라고 쓴 적 있나요? 그럴 수 있어요 — 공식을 글자로만 외우면 그렇게 돼요. 이 특강은 공식을 직사각형의 넓이로 보고, 인수분해를 타일 퍼즐로 풀어요. 그다음엔 스피드 드릴로 손이 저절로 움직이게 만들어요. 이건 중3의 관문이자 고등 수학 전체의 기초 체력이에요.
가로가 x + b, 세로가 x + a인 직사각형이 있어요. 넓이는 (세로) × (가로) = (x + a)(x + b)죠. 그런데 이 직사각형은 네 조각으로 나뉘어요. 슬라이더로 a, b를 바꿔 보면서 네 조각의 넓이를 더해 보세요.
네 조각을 더한 게 곧 전개예요. x² 한 개, x 조각이 (a + b)개, 그리고 a × b짜리 작은 조각. 그래서 (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab — "가운데는 합, 끝은 곱"이라는 말이 이 그림이에요.
함께 생각하기 ①
(x + 2)(x + 5)를 전개하면 x의 계수는 얼마일까요? (그림에서 x 조각이 몇 개인지 세어 봐도 돼요.)
가로와 세로가 똑같이 a + b인 정사각형이면 어떻게 될까요? ▶ 재생을 눌러 네 조각이 채워지는 걸 보세요.
이번엔 (a + b)(a − b)예요. 한 변이 a인 정사각형에서 한 변이 b인 작은 정사각형을 잘라 내면 넓이가 a² − b²죠. 남은 ㄱ자 조각을 잘라서 옮기면 가로 a − b, 세로 a + b인 직사각형이 돼요. ▶ 재생을 눌러 보세요.
이제 공식을 "읽어" 볼까요? 다섯 개뿐이에요. 전부 위의 그림 하나에서 나와요.
함께 생각하기 ②
(x + 3)(x − 3) = x² − □에서 □는 얼마일까요?
전개가 "직사각형 → 조각"이었다면, 인수분해는 "조각 → 직사각형"이에요. x² + bx + c는 x² 타일 1개, x 타일 b개, 1짜리 타일 c개예요. 이 타일을 빈틈없이 직사각형으로 놓을 수 있으면 그 가로·세로가 답이에요. x 타일을 위아래로 몇 개씩 나눌지 골라 보세요.
타일이 딱 맞으려면 x 타일을 나눈 두 수의 곱이 1짜리 타일의 개수여야 해요. 그래서 인수분해는 "곱해서 c, 더해서 b"인 두 수 찾기예요. 요령은 곱이 c가 되는 짝을 먼저 다 적고, 그중 합이 b인 짝을 고르는 거예요. 부호도 짝에 넣어요 — 곱이 −6이면 (−3, 2)처럼요.
여섯 가지 유형이면 중3 인수분해는 전부예요. 순서가 중요해요 — 인수분해 문제를 보면 ① 공통인수 → ② 완전제곱식? → ③ 합차? → ④ 두 수 찾기 순서로 확인해요. 각 카드의 "다른 문제로"를 눌러 손에 익을 때까지 반복해요.
이번엔 어떤 유형인지 안 알려드려요. 공통인수 → 완전제곱식 → 합차 → 두 수 찾기 순서로 스스로 판단해서 풀어봐요. 틀리면 어느 유형인지 알려드릴게요.
여기까지 왔으면 이제 손에 익힐 차례예요 — ⚡ 스피드 드릴(전개 · 인수분해) →
03단원 문제로 돌아가서 다시 풀어봐요 — 03단원 유형4 문제로 가기 →
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