평균이 같아도 자료는 다르게 생겼어요. 얼마나 흩어져 있는지를 숫자 하나로 — 분산과 표준편차예요.
자료 전체를 한 수로 대표하는 대푯값을 기억하죠. 평균은 전부 더해 개수로 나눈 값, 중앙값은 크기순으로 놓았을 때 한가운데 값(짝수 개면 가운데 둘의 평균), 최빈값은 가장 많이 나온 값이에요. 이번 단원은 대푯값 다음 질문 — "그래서 자료가 그 값 근처에 얼마나 모여 있나?"예요.
두 반의 수학 점수 평균이 똑같이 6점이어도, 한 반은 다 6점 근처이고 다른 반은 2점과 10점이 섞여 있을 수 있어요. 자료가 흩어진 정도를 산포도라 하고, 그 출발점이 편차 = 변량 − 평균이에요. 평균보다 크면 +, 작으면 −. 그리고 중요한 성질 하나 — 편차의 합은 항상 0이에요(평균 위로 넘친 만큼 아래로 모자라니까요).
A반 5, 6, 6, 7 · B반 2, 4, 8, 10 — 평균은 둘 다 6. 편차는 A반 −1, 0, 0, 1 / B반 −4, −2, 2, 4. 합은 둘 다 0.
평균은 항상 10이에요. k를 키우면 편차가 커지고, 편차를 제곱해 평균 낸 분산은 k²배로, 그 제곱근인 표준편차는 k배로 커져요. k = 0이면 다 같은 값 — 분산 0.
편차를 그냥 평균 내면 합이 0이라 늘 0이에요. 그래서 제곱해서 부호를 없앤 뒤 평균을 내요 — 이게 분산 = (편차)²의 평균. 예: 2, 4, 6, 8, 10 → 평균 6, 편차 −4, −2, 0, 2, 4 → 제곱 16, 4, 0, 4, 16 → 합 40 → 분산 40 ÷ 5 = 8. 나누는 수는 변량의 개수예요.
분산은 제곱한 값이라 단위가 "점²"처럼 이상해져요. 그래서 표준편차 = √분산으로 원래 단위로 되돌려요. 분산 16 → 표준편차 4. 분산 10 → 표준편차 √10 (근호는 그대로 둬요). 표준편차가 작을수록 자료가 평균 근처에 모여(고르게) 있어요.
편차 표만 있어도 분산을 구할 수 있어요 — 먼저 합 = 0으로 빈칸을 채우고, 제곱해서 평균. 두 자료를 비교할 땐 평균이 아니라 표준편차가 작은 쪽이 더 고른 거예요. 표준편차가 0이면 모든 변량이 평균과 똑같다는 뜻이에요.
정답 맞히기가 아니라, 이해한 걸 자기 말로 꺼내보는 거예요.
편차의 합은 항상 이라서 그냥 평균 내면 소용이 없고, 그래서 편차를 해서 평균 낸 것이 분산이에요.
0이라서, 편차를 제곱해서 평균 낸 것이 분산이에요.
표준편차가 작은 반은 점수가 평균 근처에 촘촘히 모여 있고, 큰 반은 아주 높은 점수와 낮은 점수가 함께 있어 넓게 퍼져 있어요. 평균이 같아도 모양이 달라요.
자기 말로 설명하면 돼요. 똑같지 않아도 괜찮아요.
개념은 잡았어요. 놀이터에서 게임으로 먼저 확인하고, 연습 문제로 손에 익혀요.
이 단원이 어렵게 느껴지나요?
📊 자료 읽는 법 — 중1 13단원에서 이어지는 이야기예요 — 도수·상대도수부터 다시 볼 수 있어요