미지수(unknown)가 둘일 때 — 두 조건을 동시에 만족하는 답(solution) 찾기.
작년에 푼 방정식은 모르는 값이 하나(x)뿐이었어요. 예를 들어 2x + 1 = 7 이면, 양변에서 1을 빼고 2로 나눠서 x = 3. 조건이 하나니까 식도 하나면 충분했죠.
올해는 모르는 값이 x, y 둘이에요. 걱정 말아요 — 그만큼 조건(식)도 둘을 주거든요. 미지수가 둘이면 식도 둘. 딱 맞아떨어져요.
아주 오래된 중국 수학책에 이런 문제가 있어요. 우리 안에 닭과 토끼가 섞여 있는데, 위에서 세어 보니 머리가 35개, 아래를 보니 다리가 94개였대요. 닭과 토끼는 각각 몇 마리일까요?
닭은 다리가 2개, 토끼는 4개. 여기엔 조건이 둘이에요 — 하나는 머리 수, 하나는 다리 수. 그래서 식도 둘이 필요해요. 이렇게 두 식을 짝지어 세운 걸 연립방정식이라고 불러요.
둘을 동시에 만족하는 (닭, 토끼) 한 쌍 — 그게 답이에요. 그림으로 보면 훨씬 쉬워요. 직접 움직여 봐요.
식 하나에 미지수가 둘이면 (예: x + y = 5), 답이 딱 하나가 아니에요. (1, 4), (2, 3), (3, 2)… 이렇게 여러 순서쌍이 다 답이 돼요.
그래서 답을 하나로 좁히려면 조건(식)이 하나 더 필요해요. 그 두 식을 함께 묶은 게 연립방정식이고, 두 식을 동시에 만족하는 순서쌍이 진짜 답이에요.
① y = 2x − 1 ② y = −x + 5
두 직선이 만나는 점이 두 식을 동시에 만족하는 답이에요. 슬라이더로 x를 움직여, 두 값이 같아지는 곳을 찾아봐요.
그림으로 교점을 찾을 수도 있지만, 계산으로 정확히 구하는 두 가지 방법이 있어요. 둘 다 목표는 문자 하나를 없애서 한 문자만 남기는 거예요.
대입법 — 한 문자를 나타낸 식을 다른 식에 끼워넣기. 예: y = x+1 을 x+y=7 의 y 자리에.
가감법 — 두 식을 더하거나 빼서 문자 하나를 없애기. 예: x+y=6 과 x−y=2 를 더하면 y가 사라져요.
움직여 봤으니 알 거예요. 정답 맞히기가 아니라, 직접 이해한 걸 꺼내보는 거예요.
연립방정식의 답은 두 그래프가 점이에요.
만나는(교차하는) 점. 그 점의 x, y가 두 식을 동시에 만족해요. 대입법(substitution method)은 이 만나는 점을 계산으로 찾는 방법이에요 — 한 식을 다른 식에 넣어서.
설명이 이거랑 똑같을 필요는 없어요. 자기 말로 설명하면 돼요.
보통은 두 직선이 한 점에서 만나 해가 딱 하나예요. 그런데 두 직선이…
평행하면 (기울기 같고 y절편 다름) 절대 안 만나요 → 해가 없어요. 풀다 보면 0 = 5 같은 거짓 식이 나와요.
완전히 포개지면 (두 식이 같은 직선) 모든 점이 답 → 해가 무수히 많아요. 풀면 0 = 0 이 나와요.
이 두 경우는 심화 탐구에서 그래프로 직접 확인해 볼 수 있어요.
답을 먼저 정하고 문제를 거꾸로 만들면, 문제의 구조가 눈에 보여요. 닭과 토끼 수를 직접 정해 봐요.
닭 마리, 토끼 마리로 정할게요.
머리 수와 다리 수, 두 조건이 저절로 생겼죠? 그게 연립방정식의 두 식이에요.
개념은 잡았어요. 이제 유형별 연습 문제로 대입법·가감법을 한 걸음씩 손에 익혀봐요.
이 단원이 어렵게 느껴지나요?
🗺️ 문장제 번역 — 미지수가 둘이어도 표로 번역하는 방법은 같아요