분수를 소수로 바꾸면 — 딱 떨어질까요, 끝없이 반복될까요?
작년에 분수랑 소수를 배웠죠. 그때 슬쩍 지나간 사실 하나를 다시 꺼내볼게요 — 분수 1/4은 그냥 "1을 4로 나눠라"라는 뜻이에요. 그래서 1/4 = 1 ÷ 4 = 0.25. 분수 막대가 곧 나눗셈 기호였던 거죠.
올해는 여기서 딱 한 걸음 더 나가요. 이 나눗셈을 계속하면 무슨 일이 생기는지 — 그걸 볼 거예요.
유리수(rational number)는 분수 꼴 a/b 로 쓸 수 있는 수예요. 여기서 a, b는 정수이고 분모 b는 b ≠ 0 이에요. (0으로는 못 나누니까요.)
사실 우리가 아는 수들이 거의 다 유리수예요.
정수도 유리수예요 — 3 = 3/1, −5 = −5/1 처럼 분모를 1로 두면 되니까요.
유한소수도 유리수예요 — 0.7 = 7/10.
순환소수도 유리수예요 — 조금 뒤에, 그리고 심화에서 왜 그런지 밝혀볼게요.
1/4을 나눠보면 0.25 — 여기서 딱 멈춰요. 나머지가 0이 돼서 더 나눌 게 없거든요. 이렇게 딱 떨어지는 소수를 유한소수(terminating decimal)라고 해요.
그런데 1/3을 나눠보면 0.3333… — 3이 끝없이 이어져요. 아무리 나눠도 나머지가 사라지질 않아요. 이렇게 끝나지 않는 소수를 무한소수(repeating decimal)라고 해요.
같은 나눗셈인데 왜 하나는 끝나고 하나는 안 끝날까요? 직접 여러 분수를 나눠보면서 규칙을 찾아봐요.
먼저 약분해서 기약분수(fraction in lowest terms)로 만든 다음, 그 분모(denominator)만 보면 돼요. 분모가 2와 5로만 이루어져 있으면 유한소수, 다른 소인수가 섞여 있으면 무한소수(순환소수)예요. 여러 값으로 바꿔보며 이 규칙을 확인해 봐요.
무한소수 중에서도, 같은 숫자 묶음이 규칙적으로 반복되는 소수를 순환소수라고 해요. 이 반복되는 묶음을 순환마디라고 부르고요.
매번 0.272727… 처럼 길게 쓰긴 번거로우니까, 순환마디의 양 끝 숫자 위에 점을 찍어 짧게 써요.
이렇게 줄여 써요 —
0.333… = 0.3̇ (3 하나가 순환마디)
0.272727… = 0.2̇7̇ (27이 순환마디, 양 끝 2와 7에 점)
0.1666… = 0.16̇ (반복되는 건 6 하나뿐 → 6에만 점)
움직여 봤으니 규칙이 보일 거예요. 정답 맞히기가 아니라, 직접 찾은 걸 자기 말로 꺼내보는 거예요.
유한소수가 되려면, 기약분수의 분모가 로만 이루어져야 해요.
2와 5. 우리 소수는 10진법이고, 10 = 2 × 5예요. 분모가 2와 5로만 되어 있으면 분모를 10, 100, … 으로 딱 맞춰줄 수 있어서 나눗셈이 끝나요. 3이나 7이 섞이면 그렇게 못 맞춰서 끝없이 반복돼요.
설명이 이거랑 똑같을 필요는 없어요. 자기 말로 설명하면 돼요.
소수를 분수로 바꾸는 것도 어렵지 않아요. 유한소수는 소수점 아래 자리 수만큼 10, 100, 1000… 을 분모로 두면 돼요.
0.7 = 7/10 (소수점 아래 한 자리 → 10)
0.25 = 25/100 = 1/4 (두 자리 → 100, 그다음 약분)
0.125 = 125/1000 = 1/8 (세 자리 → 1000)
순환소수는 어떻게 분수로 되돌릴까요? 끝이 없는데도 방법이 있어요 — 그건 심화 탐구에서 변환기로 직접 파헤쳐 볼게요.
여기까지 오면 큰 그림이 보여요. 어떤 유리수든 소수로 바꾸면 유한소수가 되거나, 안 끝나면 반드시 순환소수가 돼요. 규칙 없이 끝없이 이어지는 소수(예: π = 3.14159…)는 유리수가 아니에요.
규칙을 진짜 아는지 확인하는 가장 좋은 방법 — 답을 보기 전에 먼저 예측해 보는 거예요.
분모를 하나 골라볼게요. 이면, 1/분모는 유한소수일까요, 순환소수일까요?
규칙은 잡았어요. 이제 유형별 연습 문제로 이 규칙을 직접 써먹어 볼 차례예요.
이 단원이 어렵게 느껴지나요?
🍕 분수·음수 계산 리셋 — 분수를 소수로 바꾸는 나눗셈이 흔들리면 순환소수가 어려워요