두 정사각형을 합치면 큰 정사각형

a²과 b²을 더하면 왜 딱 c²이 될까요? 두 변을 바꾸며 넓이로 확인해 볼까요?

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1큰 그림

넓이로 보는 피타고라스

직각을 낀 두 변 위의 정사각형 넓이 a², b²을 더하면, 빗변 위의 정사각형 넓이 c²과 언제나 같아요. 두 변을 바꿔 가며 확인해 봐요.

제곱의 합 실험실 · 두 변을 바꿔 볼까요?

주황(a²) + 초록(b²) = 파랑(c²). 두 작은 정사각형의 넓이를 더하면 큰 정사각형과 딱 같아요.

2한 걸음 더

a² + b² = c²를 만족하는 정수 세 쌍을 피타고라스 수라 해요.

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25) …

(3,4,5)의 각 변을 2배 하면 (6,8,10) — 닮은 직각삼각형도 피타고라스 수예요.

3왜 그럴까

서로 다른 자연수 m > n 을 아무거나 골라요.

a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n² 으로 두어요.

m=2, n=1 → (3, 4, 5) · m=3, n=2 → (5, 12, 13) · m=4, n=1 → (15, 8, 17)

이렇게 만든 셋은 언제나 a² + b² = c² 을 만족해요. m 과 n 을 바꿔 가며 끝없이 만들 수 있으니 피타고라스 수는 무한히 많아요. 유클리드가 2300년 전에 남긴 방법이에요.

4어디에 쓰일까

📐 목수의 3 : 4 : 5 줄
각도기 없이 직각을 내는 오래된 방법이에요. 줄에 3 m, 4 m, 5 m 를 표시해 삼각형을 만들면 3² + 4² = 5² 이라 반드시 직각이 나와요. 이집트 시대부터 쓰였어요.

📺 “55인치 TV” 의 55는 어디 길이일까요
가로도 세로도 아닌 대각선이에요. 가로세로 비가 16 : 9 니까 피타고라스로 되짚으면 가로는 약 122 cm, 세로는 약 69 cm 예요. 중3에서는 이 계산이 두 점 사이 거리가 돼요.

중2 · 단원 10 · 심화 탐구 · 위 탭에서 개념·연습·탐험으로 이동