순환소수는 사실 분수였어요 — 즉 유리수(rational number). 그 비밀을 변환기로 직접 파헤쳐 볼까요?
이 페이지엔 채점 문제가 없어요. 직접 굴려보며 원리를 확인하는 곳이에요.
개념에서 1/3 = 0.333…을 봤죠. 그런데 거꾸로 — 0.333…을 다시 분수로 되돌릴 수 있을까요? 끝이 없는데요?
있어요. 그리고 그게 중요한 이유는 — 모든 순환소수는 분수(정수/정수)로 쓸 수 있다는 뜻이거든요. 분수로 쓸 수 있는 수를 유리수라고 불러요. 즉 순환소수 = 유리수. 반대로 π = 3.14159…처럼 규칙 없이 안 끝나는 소수는 분수로 못 써요 — 그건 무리수예요.
비결은 딱 하나. "끝없는 꼬리를 서로 빼서 없애는" 거예요. 아래에서 직접 해 볼까요?
하나 골라 볼까요? 10을 곱해 자리를 맞춘 뒤 빼면 무한 꼬리가 싹 사라져요.
×10은 소수점을 오른쪽으로 한 칸 미는 거예요. 순환마디 길이만큼 밀면, 두 수의 꼬리가 똑같아져서 빼면 0이 돼요. 남는 건 깔끔한 정수뿐이에요.
분수를 하나 골라 직접 나눠 볼까요? 나머지가 다시 나타나는 순간, 순환마디가 태어나요.
나눗셈의 열쇠는 나머지예요. 나머지는 항상 분모보다 작으니 종류가 유한 — 그래서 언젠가 반드시 다시 나타나고, 그 순간부터 몫이 똑같이 반복돼요. 나머지가 0이 되면 딱 떨어지는 유한소수죠.
여러 개 굴려 봤어요? 순환마디가 1자리면 분모에 9, 2자리면 99가 나왔죠. 비순환 부분이 있으면 뒤에 0도 붙어요(90, 990…).
규칙 요약
0.2̇7̇ (2자리 순환) = 27 / 99 · 0.3̇ (1자리 순환) = 3 / 9 · 비순환 1자리가 앞에 있으면 분모 뒤에 0 하나 더.
외우려 하지 마세요. 변환기에서 "빼서 꼬리를 없앤다"만 기억하면, 분모의 9와 0은 저절로 따라 나와요.
순환소수를 그대로 더하려면 끝이 없어서 막막하죠. 그런데 분수로 바꾸면 딱 떨어지게 계산돼요. 이게 "순환소수도 유리수"라는 사실의 힘이에요.
0.3̇ + 0.6̇ 는 얼마일까요? 먼저 예상해 볼까요?
0.3̇ = 3/9 = 1/3, 0.6̇ = 6/9 = 2/3
1/3 + 2/3 = 3/3 = 1 — 그러니까 0.3̇ + 0.6̇ = 0.9̇ = 1 이에요!
소수로 보면 0.333… + 0.666… = 0.999… = 1. 분수로 바꾸니 한눈에 보이죠?
0.4̇ 와 0.45 중 어느 게 더 클까요? "0.4̇는 끝없이 이어지니까 더 크겠지"라고 생각하기 쉬워요. 먼저 예측해 볼까요?
0.4̇ = 0.4444…, 0.45 = 0.4500
소수점 아래 둘째 자리에서 갈려요 — 4 < 5. 그래서 0.45 가 더 커요.
비교는 자리별로 하나씩 봐야 해요. 반복 여부가 아니라, 실제 자리 숫자로 갈려요.
위 변환기에서 0.9̇를 골라 봤어요? 결과가 뭐였는지 — 놀랐을지도 몰라요. 이 이야기는 심화 문제에서 제대로 다뤄 볼게요.