"y = a/x에서 a = −2일 때 식을 쓰세요." 여기서 손이 멈춘 적이 있죠? 괜찮아요 — 그건 계산을 못해서가 아니라 "a 자리에 뭔가를 넣는다"는 게 뭔지를 아직 아무도 그림으로 보여 주지 않아서예요. 이번 특강은 식을 외우지 않아요. 넣으면 나오는 상자에서 시작해요.
① 음수는 괄호부터② 표 채우기③ a 구하기④ 표 → 식⑤ 그래프 → 식
1넣으면 나오는 상자 (식 없이 감 잡기)
여기 규칙을 숨긴 상자가 있어요. 숫자를 하나 넣으면 상자가 규칙대로 바꿔서 하나를 내놓아요. 숫자를 세 개쯤 넣어 보고 규칙이 뭔지 추리해 보세요.
넣는 수 x
?
규칙?
나오는 수 y
?
넣어 볼 수를 골라요 👇
방금 한 일이 전부예요. x를 정하면 y가 하나로 정해진다 — 이런 관계를 앞으로 함수라고 불러요(정식 이름은 중2에서 배워요. 지금은 "상자"라고 생각해도 충분해요). 상자의 규칙을 글자로 적은 게 식이에요.
2식은 외우는 게 아니라 읽는 것
상자 규칙 "넣은 수에 2를 곱해요"를 글자로 쓰면 y = 2x예요. "12를 넣은 수로 나눠요"는 y = 12/x예요. 식은 상자 설명서일 뿐이에요.
y = ax정비례 · "x에 a를 곱하면 y" · x가 2배면 y도 2배
y = a/x반비례 · "a를 x로 나누면 y" · x가 2배면 y는 절반
두 식에 들어 있는 a는 그 상자의 "고정된 숫자"예요. 이름은 비례상수고요. 상자마다 a가 달라요 — y = 2x는 a = 2, y = −5x는 a = −5, y = −3/x는 a = −3이에요.
⚠ 가장 흔한 함정 — "a = −2를 넣으세요"라는 말은 a라는 글자가 있던 자리에 −2를 통째로 놓으라는 뜻이에요. 글자 a 옆에 −2를 붙이는 게 아니에요. 그래서 이 특강의 앵커는 이거예요 👇
( )불변 앵커 — 음수를 넣을 땐 괄호부터 만들어요. 글자 자리를 지우고 빈 괄호 ( )를 놓은 다음, 그 안에 음수를 통째로 넣어요. y = a/x, a = −2 → y = ( )/x → y = (−2)/x → y = −2/x. 이 세 단계가 이 특강 전체예요.
함께 생각하기 ①
상자의 규칙이 y = 3x예요. x = 4를 넣으면 y는 얼마일까요?
함께 생각하기 ②
어떤 상자에 −2를 넣었더니 −6이 나오고, 3을 넣었더니 9가 나왔어요. 이 상자의 규칙은 무엇일까요?
3표 ↔ 그래프 ↔ 식, 세 가지 말로 번역하기
같은 상자를 세 가지 말로 표현할 수 있어요 — 식(설명서), 표(넣어 본 기록), 그래프(기록을 점으로 찍은 그림). 식을 하나 고르면 표와 그래프가 같이 바뀌어요. 세 개가 같은 것이라는 느낌이 들 때까지 눌러 보세요.
이제 거꾸로 — 식을 보고 표의 빈칸을 채워 볼까요? x 자리에 숫자를 넣기만 하면 돼요(음수면 괄호부터!).
4대입 집중 훈련 — 음수는 괄호부터
이 특강의 심장이에요. 식과 a를 고르고 ▶ 재생을 누르면, 글자 자리에 음수를 넣는 세 단계를 천천히 보여 드려요.
식
a =
▶ 재생을 눌러 보세요
이번엔 완성된 식에 x 값도 넣어 봐요. 규칙은 똑같아요 — x 자리에 괄호부터.
x =
x를 고르고 ▶ 재생을 눌러 보세요
a 구하기 (정비례)y = ax에 점을 넣어요 → a = y ÷ x
a 구하기 (반비례)y = a/x에 점을 넣어요 → a = x × y
a를 구할 때도 똑같아요. "x = −3일 때 y = 6"이면 y = ax에 괄호로 넣어서 6 = a × (−3), 그러니까 a = 6 ÷ (−3) = −2예요.
5유형별 완전정복
시험에 나오는 건 이 다섯 가지예요. 전부 "글자 자리에 숫자 넣기" 아니면 "넣어서 a 찾기"예요. 틀려도 괜찮아요 — 풀이를 보고 "다른 문제로"를 누르면 끝없이 연습할 수 있어요.
①
음수는 괄호부터
a 자리 · x 자리에 음수 넣기 — 사건의 현장
핵심 글자 자리를 지우고 빈 괄호를 만든 뒤 음수를 통째로 넣어요. 그다음에야 괄호를 풀어요.
②
x를 넣어 y 구하기 — 표 채우기
식이 주어지고 x가 여러 개
핵심 표의 칸 하나하나가 "x 자리에 그 숫자를 넣은 결과"예요. 음수 칸은 괄호부터.
③
점을 알면 a를 구해요
"x = □일 때 y = △" 또는 "점 (□, △)를 지나요"
핵심 정비례는 a = y ÷ x, 반비례는 a = x × y예요. 식에 점을 괄호로 넣고 a만 남기면 돼요.
④
표를 보고 식 고르기
정비례? 반비례? 둘 다 아님?
핵심 x가 2배일 때 y도 2배면 정비례(y ÷ x 일정), y가 절반이면 반비례(x × y 일정), 둘 다 아니면 둘 다 아니에요.
⑤
그래프를 보고 식 고르기
모양으로 정비례·반비례, 위치로 a의 부호
핵심 원점을 지나는 직선이면 y = ax, 곡선(쌍곡선)이면 y = a/x예요. 1·3사분면이면 a > 0, 2·4사분면이면 a < 0. 크기는 지나는 점을 넣어서 구해요.
6실전 총정리 — 유형 섞어서
이번엔 어떤 유형인지 안 알려드려요. 문제를 읽고 "지금 뭘 넣어야 하지?"를 먼저 생각해서 풀어 봐요. 틀리면 어느 유형인지 알려드릴게요.
7마무리 치트시트
📦 함수란 무엇인가 한 장 요약
함수 = 넣으면 하나로 나오는 상자x를 정하면 y가 하나로 정해져요 · 식은 상자 설명서
정비례 y = axx가 2배면 y도 2배 · 원점을 지나는 직선 · a = y ÷ x
반비례 y = a/xx가 2배면 y는 절반 · 쌍곡선 · a = x × y
( ) 음수는 괄호부터a = −2 → y = ( )/x → y = (−2)/x → y = −2/x
x에 넣을 때도 괄호y = −3x, x = −2 → y = (−3) × (−2) = 6
표 읽기y ÷ x 일정 → 정비례 · x × y 일정 → 반비례 · 둘 다 아니면 둘 다 아님
그래프 읽기직선 = 정비례, 곡선 = 반비례 · 1·3사분면 a > 0, 2·4사분면 a < 0