원기둥 안에 구를 꼭 맞게 넣으면, 원기둥 = 구 + 원뿔 2개. 아르키메데스가 가장 자랑스러워한 발견이에요.
이 페이지엔 채점 문제가 거의 없어요. 반지름을 움직이면 세 부피가 항상 같은 비율로 커지는 걸 볼 수 있어요. 맨 끝에 도전 문제 하나가 있어요.
반지름 r인 구가 꼭 맞게 들어가는 원기둥은 반지름도 r, 높이도 2r이에요(구의 지름만큼). 이때 원뿔 : 구 : 원기둥의 부피는 항상 1 : 2 : 3이에요 — 반지름이 몇이든 상관없이요.
막대 길이는 부피의 크기를 나타내요. 반지름이 바뀌어도 막대 길이의 비는 항상 1:2:3으로 그대로예요.
1:2:3 비율에서 원뿔이 1, 원기둥이 3이니, 원뿔 2개를 합치면 정확히 2가 돼요. 그런데 구도 2예요! 그래서 원기둥의 부피는 구 하나와 원뿔 두 개의 부피의 합과 똑같아요 — 오차 없이 정확히.
아르키메데스(BC 3세기)는 이 관계를 증명한 뒤 너무 자랑스러워서, 자신이 죽으면 묘비에 원기둥 안에 구가 들어있는 그림을 새겨 달라고 부탁했어요. 훗날 로마 장군 키케로가 시칠리아에서 잡초에 덮인 그 묘비를 실제로 찾아냈다는 기록이 남아 있어요.
반지름이 3 인 구가 꼭 맞게 들어간 원기둥의 부피가 54π 예요. 이때 구의 부피는 □π 예요. □ 에 들어갈 수는?
💡 원기둥 : 구 : 원뿔 2개 = 3 : 2 : 1 이에요.
💡 그러니 구는 원기둥의 2/3 예요.
💡 54 × 2/3 을 계산하면 구의 부피가 나와요.