유형 7 H1 — 반구+원뿔 결합 겉넓이

유형 7 · 난이도 H ★★★

반지름 4 cm인 반구 위에 같은 반지름의 원뿔(높이 3 cm, 모선 5 cm)이 결합된 입체의 겉넓이는?
(결합면의 평면 원은 내부에 위치해요.)

잠깐 생각해 봐요 🤔 결합 입체의 겉넓이 = 반구 곡면 + 원뿔 옆면
결합면(평면 원)은 안쪽으로 들어가므로 세지 않아요!

Step 1 / 2

겉넓이를 구성하는 면을 파악해요

복합 입체의 겉넓이 = 외부로 노출된 면만 더해요. 결합면은 내부라 제외!

📖 용어 노트 | 기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)

🌐반구 곡면 \(= 2\pi r^2\) (구 겉넓이의 절반)

📐원뿔 옆면 \(= \pi r l\) (모선 사용!)

🚫결합면 평면 원 — 내부이므로 제외!

⚠ 결합면 주의! 반구의 평면과 원뿔의 밑면이 딱 맞닿아 있어서
외부에서 보이지 않아요. 겉넓이에 포함하면 틀려요!

Step 2 / 2

각 면의 넓이를 계산해요

r=4, l=5(모선)을 대입해요. h=3은 부피 계산에 필요하지만 겉넓이엔 모선 l을 써요!

📖 용어 노트 | 기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)

1

반구 곡면 \(= 2\pi r^2 = 2\pi \times 4^2 = 32\pi\) cm²

2

원뿔 옆면 \(= \pi r l = \pi \times 4 \times 5 = 20\pi\) cm²

3

합계 \(= 32\pi + 20\pi = 52\pi\) cm²

⚠ 왜 h=3을 안 쓰나요? 원뿔 옆넓이는 \(\pi r l\) (모선 사용). h는 부피에서 쓰여요.
③ 48π는 \(\pi \times 4 \times 4 = 16\pi\)를 원뿔 옆면으로 잘못 계산한 오답이에요.

정답

④ 52π cm²

1겉넓이 = 반구 곡면 + 원뿔 옆면 (결합면 제외)

2반구 곡면 \(= 2\pi \times 4^2 = 32\pi\) cm²

3원뿔 옆면 \(= \pi \times 4 \times 5 = 20\pi\) cm²

4합계 \(= 32\pi + 20\pi = \mathbf{52\pi}\) cm²

💡 복합 입체 겉넓이 3원칙
1. 결합면(맞닿은 면)은 제외
2. 원뿔 옆넓이는 모선 l 사용 (높이 h 아님)
3. 반구 곡면 \(= 2\pi r^2\), 평면 원 \(= \pi r^2\) 구분하기