유형 6 H2 — L자 회전체 부피

유형 6 · 난이도 H ★★★

L자 도형(큰 직사각형 5×3, 작은 직사각형 2×2가 한쪽 모서리에 빠진 형태)을
회전축(긴 쪽 변)을 기준으로 한 바퀴 돌렸어요.
큰 원기둥(r=5, h=3)에서 작은 원기둥(r=2, h=2)을 뺀 형태로 계산할 때,
회전체의 부피는?

잠깐 생각해 봐요 🤔 L자 회전체 = 큰 원기둥 − 작은 원기둥이에요.
①과 ③이 같은 계산인지도 확인해 봐요!

Step 1 / 2

큰 원기둥과 작은 원기둥 계산해요

L자 회전체 = 큰 원기둥 전체 − 빠진 작은 원기둥. 각각 부피를 구해요.

📖 용어 노트 | 기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)

큰 원기둥r = 5 cm
h = 3 cm

빼낼 원기둥r = 2 cm
h = 2 cm

1

큰 원기둥: \(V_{big} = \pi \times 5^2 \times 3 = 75\pi\) cm³

2

작은 원기둥: \(V_{small} = \pi \times 2^2 \times 2 = 8\pi\) cm³

Step 2 / 2

뺄셈과 보기 ① ③ 비교해요

①과 ③은 곱셈 순서만 다를 뿐 완전히 같은 계산이에요.

📖 용어 노트 | 기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)

1

회전체 부피 \(= 75\pi - 8\pi = 67\pi\) cm³

1

① \(75\pi - 8\pi = (\pi \times 5^2 \times 3) - (\pi \times 2^2 \times 2)\)

2

③ \(25\pi \cdot 3 - 4\pi \cdot 2\) = \((\pi \times 25 \times 3) - (\pi \times 4 \times 2)\)

3

둘 다 \(75\pi - 8\pi = 67\pi\) → 완전히 같은 식!

💡 \(\pi r^2 h\)에서 \(r^2 \cdot h\)와 \(r^2\) 먼저 계산하거나 \(h\) 먼저 곱해도 결과는 같아요.
곱셈의 교환법칙!

정답

④ ①과 ③ 모두 같은 답 (67π cm³)

1큰 원기둥 \(V = \pi \times 5^2 \times 3 = 75\pi\)

2작은 원기둥 \(V = \pi \times 2^2 \times 2 = 8\pi\)

3L자 회전체 \(= 75\pi - 8\pi = \mathbf{67\pi}\) cm³

4①과 ③은 곱셈 순서만 다른 같은 식 → 정답 ④

💡 L자 회전체 전략 — 큰 원기둥에서 빠진 부분을 뺀다.
더하면 안 돼요 (② 83π는 오답)!