유형 6 H1 — 빗변 축 두 원뿔 부피

유형 6 · 난이도 H ★★★

직각삼각형(직각변 3, 4, 빗변 5)을 빗변(길이 5)을 축으로 한 바퀴 돌렸어요.
만들어진 입체는 두 원뿔이 밑면을 공유하며 합쳐진 모양이에요.
(직각꼭짓점에서 빗변에 내린 수선 길이 \(= \dfrac{12}{5}\), 그 발은 빗변을 \(\dfrac{9}{5}, \dfrac{16}{5}\)으로 분할.)

두 원뿔 부피의 합은?

① \(\dfrac{48\pi}{5}\) cm³
② \(\dfrac{144\pi}{25}\) cm³
③ \(\dfrac{48\pi}{25}\) cm³
④ \(20\pi\) cm³

잠깐 생각해 봐요 🤔 빗변을 축으로 돌리면 직각꼭짓점이 그리는 원의 반지름 = 수선 길이예요.
두 원뿔이 같은 밑면(반지름 \(\dfrac{12}{5}\))을 공유해요!

Step 1 / 3

빗변 축 회전의 구조를 파악해요

빗변을 축으로 돌리면 직각꼭짓점이 원을 그리고, 두 원뿔이 생겨요.

📖 용어 노트 | 기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)

삼각형 기본 정보

직각변: 3, 4 | 빗변: 5
넓이 = \(\dfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\)

수선의 길이 확인 (주어진 값)

1

직각꼭짓점에서 빗변에 내린 수선의 발 H

2

수선 길이 \(h_{\perp}\): 삼각형 넓이 두 가지 표현
\(\dfrac{1}{2} \times 5 \times h_{\perp} = 6 \Rightarrow h_{\perp} = \dfrac{12}{5}\)

3

H가 빗변을 분할: \(\dfrac{9}{5}\) 와 \(\dfrac{16}{5}\) (주어진 조건)

💡 핵심! 빗변 축 회전 → 직각꼭짓점이 반지름 \(\dfrac{12}{5}\)인 원을 그려요.
두 원뿔은 이 원을 공통 밑면으로 가져요.

Step 2 / 3

두 원뿔을 각각 계산해요

두 원뿔의 반지름은 같고(\(\dfrac{12}{5}\)), 높이만 달라요(\(\dfrac{9}{5}\)와 \(\dfrac{16}{5}\)).

📖 용어 노트 | 기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)

각 원뿔의 치수

1

공통 반지름: \(r = \dfrac{12}{5}\)

2

원뿔 A 높이: \(h_1 = \dfrac{9}{5}\) (한쪽 꼭짓점까지)

3

원뿔 B 높이: \(h_2 = \dfrac{16}{5}\) (다른 쪽 꼭짓점까지)

4

높이 합: \(h_1 + h_2 = \dfrac{9}{5} + \dfrac{16}{5} = \dfrac{25}{5} = 5\) ✓ (빗변 길이와 일치!)

부피 합산 트릭

1

두 원뿔 부피 합 \(= \dfrac{1}{3}\pi r^2 h_1 + \dfrac{1}{3}\pi r^2 h_2\)

2

\(= \dfrac{1}{3}\pi r^2 (h_1 + h_2)\) ← 인수분해!

3

\(= \dfrac{1}{3}\pi \left(\dfrac{12}{5}\right)^2 \times 5\)

💡 \(h_1 + h_2 = 5\) (빗변 전체 길이) 로 묶으면 계산이 훨씬 쉬워져요!

Step 3 / 3

수를 대입해 답을 구해요

\(\dfrac{1}{3}\pi \left(\dfrac{12}{5}\right)^2 \times 5\) 를 계산해요.

📖 용어 노트 | 기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)

계산 전개

1

\(\left(\dfrac{12}{5}\right)^2 = \dfrac{144}{25}\)

2

\(\dfrac{1}{3} \times \dfrac{144}{25} \times 5 = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{144}{5} = \dfrac{144}{15} = \dfrac{48}{5}\)

3

부피 합 \(= \dfrac{48\pi}{5}\) cm³

정답

① \(\dfrac{48\pi}{5}\) cm³

풀이 흐름 정리

1수선 길이 \(r = \dfrac{12}{5}\) (넓이 두 가지 방식 이용)

2두 원뿔 높이: \(\dfrac{9}{5}\) + \(\dfrac{16}{5}\) = 5 (빗변 전체)

3부피 합 \(= \dfrac{1}{3}\pi r^2 (h_1+h_2) = \dfrac{1}{3}\pi \cdot \dfrac{144}{25} \cdot 5 = \dfrac{48\pi}{5}\)

⚠ 빗변 축 회전 — 수선으로 분할된 두 높이의 합은 빗변 전체 길이예요.
\(h_1 + h_2\)로 묶으면 분수 계산이 훨씬 편해져요!

더 연습하고 싶다면

→ 유형 6 전체 문제 (L·M·H) → 깊이 탐구 — 복합 회전체