유형 5 H3 — 반구+원기둥 복합 부피

유형 5 · 난이도 H ★★★

반지름 3 cm인 반구 위에 반지름 3 cm, 높이 3 cm인 원기둥이 올려진 복합 입체가 있다.
이 복합 입체의 부피를 구하여라.

잠깐 생각해 봐요 🤔 복합 입체는 조각별로 나눠서 계산해요.
반구 부피 + 원기둥 부피를 따로 구한 뒤 더하면 돼요!

Step 1 / 2

반구 부피를 계산해요

반구는 구 부피의 절반이에요. 구 부피 공식 \(\dfrac{4}{3}\pi r^3\)에서 반으로 나눠요.

📖 용어 노트 | 기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)

반구 (아래): 반지름 3 cm
원기둥 (위): 반지름 3 cm, 높이 3 cm
→ 두 도형의 반지름이 같아서 딱 맞게 붙어요!

1

구 부피 \(= \dfrac{4}{3}\pi r^3\)

2

반구 부피 \(= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{2}{3}\pi r^3\)

3

\(r=3\) 대입: \(\dfrac{2}{3}\pi \times 27 = 18\pi\) cm³

⚠ 반구 = 구의 절반! 구 부피에 \(\dfrac{1}{2}\)을 곱하는 걸 잊지 마세요.

Step 2 / 2

원기둥 부피 + 합산해요

원기둥 부피 = 밑넓이 × 높이. 반구와 원기둥을 더하면 완성!

📖 용어 노트 | 기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)

1

\(V_{원기둥} = \pi r^2 \times h = \pi \times 3^2 \times 3 = 27\pi\) cm³

1

반구: \(18\pi\) cm³

2

원기둥: \(27\pi\) cm³

3

합계: \(18\pi + 27\pi = \boxed{54\pi}\) cm³

정답

③ 54π cm³

1반구 부피 \(= \dfrac{2}{3}\pi \times 3^3 = 18\pi\) cm³

2원기둥 부피 \(= \pi \times 3^2 \times 3 = 27\pi\) cm³

3합계: \(18\pi + 27\pi = \mathbf{54\pi}\) cm³

💡 복합 입체 전략 — 입체를 부분으로 나누어 각각 계산한 뒤 더해요.
단위는 반드시 cm³ (부피는 세제곱)!