유형 5 H2 — 원뿔:구:원기둥 = 1:2:3

유형 5 · 난이도 H ★★★

반지름이 같은 원뿔, 구, 원기둥이 있다. 반지름을 \(r\)이라 하고,
원뿔의 높이 = 구의 지름 = 원기둥의 높이 = \(2r\)일 때,
세 입체도형의 부피 비 \(V_{원뿔} : V_{구} : V_{원기둥}\)을 구하여라.

잠깐 생각해 봐요 🤔 세 도형의 부피 공식을 각각 써 보고, 같은 \(r\)로 나타내 볼게요.
분수가 약분되면 깔끔한 정수 비가 나올 거예요!

Step 1 / 2

각 부피를 r로 표현해요

원뿔·구·원기둥 부피 공식에 높이 = 2r을 대입하면 모두 r의 식이 돼요.

📖 용어 노트 | 기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)

1

반지름: \(r\) (세 도형 모두 동일)

2

원뿔 높이 \(= 2r\), 원기둥 높이 \(= 2r\), 구 반지름 \(= r\) (지름 \(2r\))

1

원뿔: \(V_{원뿔} = \dfrac{1}{3} \pi r^2 \times 2r = \dfrac{2}{3}\pi r^3\)

2

구: \(V_{구} = \dfrac{4}{3} \pi r^3\)

3

원기둥: \(V_{원기둥} = \pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3\)

⚠ 원뿔에는 \(\dfrac{1}{3}\)! 원기둥과 높이가 같아도 부피는 \(\dfrac{1}{3}\)이에요.

Step 2 / 2

공통 인수로 약분해요

\(\dfrac{2}{3}\pi r^3 : \dfrac{4}{3}\pi r^3 : 2\pi r^3\) — 공통 \(\pi r^3\)을 빼고 분수를 정수로!

📖 용어 노트 | 기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)

1

\(\dfrac{2}{3}\pi r^3 : \dfrac{4}{3}\pi r^3 : 2\pi r^3\)

2

공통 \(\pi r^3\) 제거:
\(\dfrac{2}{3} : \dfrac{4}{3} : 2\)

3

전체에 3을 곱해 분모 제거:
\(2 : 4 : 6\)

4

2로 약분:
\(\boxed{1 : 2 : 3}\)

정답

① 1 : 2 : 3

1원뿔 \(V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 2r = \dfrac{2}{3}\pi r^3\)

2구 \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\)

3원기둥 \(V = \pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3\)

4\(\dfrac{2}{3} : \dfrac{4}{3} : 2\) → ×3 → \(2:4:6\) → ÷2 → \(\mathbf{1:2:3}\)

💡 카발리에리의 원리 — 원뿔:구:원기둥 = 1:2:3 은 반드시 기억해요!
구의 부피 = 원기둥 부피의 2/3, 원뿔 부피 = 원기둥 부피의 1/3이에요.