문제 · Page 0
단계별로 풀어볼까요?
정답은 마지막에 확인해요. 먼저 스스로 생각해보고, 막히면 다음 단계로 넘어가세요.
📖 용어 노트
기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)
유형 5 · H1
반지름 $r$인 구가 원기둥 안에 꼭 맞게 들어갑니다 (원기둥 높이 $= 2r$, 반지름 $= r$). 이때 구 부피와 원기둥 부피의 비 $V_{구} : V_{원기둥}$은?
① $1 : 2$ ② $2 : 3$ ③ $3 : 4$ ④ $1 : 3$
🤔 잠깐, 손으로 풀어보세요
구 부피 $= \frac{4}{3}\pi r^3$, 원기둥 부피 $= \pi r^2 \times 2r$. 각각 계산 후 비교해봐요.
1단계 · Page 1
두 부피 계산
왜 이 단계? — 구 공식과 원기둥 공식을 각각 적용해요.
📖 용어 노트
기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)
구 부피
$V_{구} = \dfrac{4}{3}\pi r^3$
원기둥 부피 (꼭 맞는 상태: 반지름=$r$, 높이=$2r$)
$V_{원기둥} = \pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$
2단계 · Page 2
비율 계산
왜 이 단계? — 분수 계산으로 비를 구해요.
📖 용어 노트
기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)
비율
$\dfrac{V_{구}}{V_{원기둥}} = \dfrac{\frac{4}{3}\pi r^3}{2\pi r^3} = \dfrac{4}{3} \div 2 = \dfrac{4}{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$
$V_{구} : V_{원기둥} = \dfrac{2}{3} : 1 = 2 : 3$
💡 아르키메데스 묘비
이것이 아르키메데스가 발견한 유명한 결과예요. 그는 이 발견이 자랑스러워 묘비에 새기도록 유언했대요.
카발리에리는 이를 단면 비교(카발리에리 원리)로 재증명했어요.
정답 · Page ★
정답 + 풀이 흐름 요약
📖 용어 노트
기둥 부피: (밑넓이)×h · 뿔 부피: (밑넓이)×h×(1/3) · 구 겉넓이: 4πr² · 구 부피: (4/3)πr³ · 모선(l): 원뿔의 꼭짓점에서 밑면 원의 둘레까지 이은 선분 · 원뿔 겉넓이: πrl+πr² (옆면+밑면)
② $2 : 3$
(구 $\frac{4}{3}\pi r^3$ : 원기둥 $2\pi r^3 = 2:3$)
전체 풀이 흐름
1
구: $\frac{4}{3}\pi r^3$, 원기둥($r$, 높이$2r$): $2\pi r^3$
2
비 = $\frac{4/3}{2} = \frac{2}{3}$ → $V_{구}:V_{원기둥} = 2:3$