한 변이 $4$ cm인 정사각형의 네 꼭짓점을 중심으로 하는
반지름 $2$ cm인 사분원이 4개 그려져 있다.
정사각형 안에서 사분원에 덮이지 않은 부분의 넓이를 구하여라.
💡 스스로 풀어봐요 — 정사각형에서 사분원 4개를 빼면 남는 부분입니다. 사분원 4개가 겹치나요?
Unit 10 공식
원주 $2\pi r$ · 넓이 $\pi r^2$
부채꼴 호 $2\pi r\times\dfrac{\theta}{360}$ · 넓이 $\pi r^2\times\dfrac{\theta}{360}=\dfrac{1}{2}rl$
Step 1
사분원 4개가 겹치는지 확인
반지름이 한 변의 절반이면 이웃한 꼭짓점의 사분원과 만나지 않는다.
겹침 여부 확인
정사각형 한 변 $= 4$ cm, 사분원 반지름 $= 2$ cm
이웃한 두 꼭짓점 사이 거리 $= 4$ cm
두 사분원의 반지름 합 $= 2 + 2 = 4$ cm
두 원이 정확히 외접 → 내부는 겹치지 않음
→ 사분원 4개의 넓이를 그냥 더해도 OK
Unit 10 공식
원주 $2\pi r$ · 넓이 $\pi r^2$
부채꼴 호 $2\pi r\times\dfrac{\theta}{360}$ · 넓이 $\pi r^2\times\dfrac{\theta}{360}=\dfrac{1}{2}rl$
Step 2
사분원 4개의 넓이 합
4개 × 사분원 한 개 = 완전한 원 1개.
사분원 4개 합 = 원 1개
사분원 한 개 $= \pi(2)^2 \times \dfrac{1}{4} = \pi$ cm²
사분원 4개 합 $= 4\pi$ cm²
이는 반지름 $2$인 원의 넓이 $\pi(2)^2 = 4\pi$와 같다.
(사분원 4개 = 완전한 원 1개)
Unit 10 공식
원주 $2\pi r$ · 넓이 $\pi r^2$
부채꼴 호 $2\pi r\times\dfrac{\theta}{360}$ · 넓이 $\pi r^2\times\dfrac{\theta}{360}=\dfrac{1}{2}rl$
★ 정답
덮이지 않은 부분의 넓이
최종 답
$(16 - 4\pi)$ cm²
정사각형 $= 4 \times 4 = 16$ cm²
사분원 $4$개 $= 4 \times \pi = 4\pi$ cm² (겹침 없음)
남은 부분 $= 16 - 4\pi$ cm²
패턴 인식 — "네 꼭짓점 사분원" 시리즈
반지름 = 한 변의 절반 → 사분원 4개 = 원 1개 → 겹침 없음.
남은 부분 = 정사각형 $-$ 원 = $a^2 - \pi\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = a^2\left(1 - \dfrac{\pi}{4}\right)$
$a=4$이면: $16\left(1 - \dfrac{\pi}{4}\right) = 16 - 4\pi$ ✓