유형 7 · H1 ★
정사각형 안 잎사귀 모양 넓이
한 변 $10$ cm인 정사각형에서 마주 보는 두 꼭짓점을 중심으로
반지름 $10$ cm인 사분원을 각각 그렸다.
색칠한 잎사귀 모양의 넓이를 구하여라.
💡 스스로 풀어봐요 — 잎사귀 = 두 사분원이 겹치는 부분. 포함배제 원리를 써보세요.
Unit 10 공식
원주 $2\pi r$ · 넓이 $\pi r^2$
부채꼴 호 $2\pi r\times\dfrac{\theta}{360}$ · 넓이 $\pi r^2\times\dfrac{\theta}{360}=\dfrac{1}{2}rl$
Step 1
잎사귀 = 두 사분원의 교집합
포함배제 원리: 교집합 = A + B - 합집합.
핵심 아이디어
사분원 A (왼쪽 위 꼭짓점 중심) : $\dfrac{1}{4}\pi(10)^2 = 25\pi$
사분원 B (오른쪽 아래 꼭짓점 중심) : $\dfrac{1}{4}\pi(10)^2 = 25\pi$
두 사분원을 합치면 정사각형 전체를 정확히 덮음
(반지름 = 한 변의 길이이므로)
합집합 $= $ 정사각형 $= 10 \times 10 = 100$
Unit 10 공식
원주 $2\pi r$ · 넓이 $\pi r^2$
부채꼴 호 $2\pi r\times\dfrac{\theta}{360}$ · 넓이 $\pi r^2\times\dfrac{\theta}{360}=\dfrac{1}{2}rl$
Step 2
포함배제 원리로 잎사귀 계산
교집합(잎사귀) = A + B - 합집합.
잎사귀 넓이
잎 $= A + B - \text{합집합}$
$= 25\pi + 25\pi - 100$
$= 50\pi - 100$ (cm²)
왜 합집합 = 정사각형?
두 사분원의 반지름 = 10 = 정사각형 한 변.
사분원 A는 오른쪽 아래 꼭짓점까지 닿고,
사분원 B는 왼쪽 위 꼭짓점까지 닿는다.
정사각형 내부 모든 점이 둘 중 하나에는 반드시 속함 → 합집합 = 정사각형.
Unit 10 공식
원주 $2\pi r$ · 넓이 $\pi r^2$
부채꼴 호 $2\pi r\times\dfrac{\theta}{360}$ · 넓이 $\pi r^2\times\dfrac{\theta}{360}=\dfrac{1}{2}rl$
★ 정답
잎사귀 모양의 넓이
사분원 각각 = $25\pi$ cm²
합집합 = 정사각형 = $100$ cm²
잎 = $25\pi + 25\pi - 100 = 50\pi - 100$ cm²
잎사귀 모양 공식 패턴
두 사분원(반지름 $r$, 정사각형 한 변 = $r$):
잎 넓이 $= \dfrac{\pi r^2}{2} - r^2 = r^2\left(\dfrac{\pi}{2} - 1\right)$
$r=10$이면: $100\left(\dfrac{\pi}{2}-1\right) = 50\pi - 100$ ✓