유형 6 · H3 ★★
60°·90°·120° 현의 길이 비 — 단원 최고 함정
한 원에서 중심각 $60°$, $90°$, $120°$인 부채꼴 A, B, C의
현의 길이를 각각 $a$, $b$, $c$라 할 때, $a : b : c$는?
① $2:3:4$ ② $1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$ ③ $1:\sqrt{3}:2$
④ $1:1.5:2$ ⑤ $\sqrt{2}:2:\sqrt{6}$
💡 스스로 풀어봐요 — r=1로 두고, 각 중심각에 해당하는 이등변삼각형에서 현의 길이를 직접 구해보세요.
Unit 10 공식
원주 $2\pi r$ · 넓이 $\pi r^2$
부채꼴 호 $2\pi r\times\dfrac{\theta}{360}$ · 넓이 $\pi r^2\times\dfrac{\theta}{360}=\dfrac{1}{2}rl$
Step 1
함정 먼저 확인
왜 ①번 2:3:4가 틀린지 이해하는 것이 이 문제의 핵심이다.
함정: ① 2:3:4 를 고르는 이유
중심각 비 60:90:120 = 2:3:4
"호는 중심각에 비례하니까 현도 그럴 것이다" → 틀림!
호 ≠ 현
호는 중심각에 정비례 (O)
현은 중심각에 정비례하지 않는다 (X)
왜 현은 비례하지 않을까?
현은 두 반지름의 끝점을 직선으로 이은 것.
호는 원 위를 따라 휘어진 길이.
중심각이 커질수록 현도 길어지지만, 그 비율이 중심각 비와 정확히 같지 않아요.
Unit 10 공식
원주 $2\pi r$ · 넓이 $\pi r^2$
부채꼴 호 $2\pi r\times\dfrac{\theta}{360}$ · 넓이 $\pi r^2\times\dfrac{\theta}{360}=\dfrac{1}{2}rl$
Step 2
현의 길이 계산 — 이등변삼각형 활용
r=1로 놓고 각 중심각의 이등변삼각형에서 현을 구한다.
방법: 중심에서 현에 수선 → 직각삼각형
두 반지름 = 이등변삼각형 두 변
중심에서 현에 수선을 내리면 현을 정확히 이등분
→ 직각삼각형 생성, 특수각 이용 가능
중심각 60° → 현 a
두 반지름 1, 끼인각 60° → 이등변삼각형
두 밑각 = $(180°-60°)/2 = 60°$ → 세 각이 모두 60° → 정삼각형
따라서 $a = r = 1$
Unit 10 공식
원주 $2\pi r$ · 넓이 $\pi r^2$
부채꼴 호 $2\pi r\times\dfrac{\theta}{360}$ · 넓이 $\pi r^2\times\dfrac{\theta}{360}=\dfrac{1}{2}rl$
Step 3
중심각 90°, 120° 현 계산
각도의 절반 = 직각삼각형에서 사용할 특수각.
중심각 90° → 현 b
두 반지름 1, 끼인각 90° → 직각이등변삼각형
빗변(현) $= \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$
따라서 $b = \sqrt{2}$
중심각 120° → 현 c
두 반지름 1, 끼인각 120°
수선으로 이등분하면: 직각삼각형 (빗변=1, 한 각=60°)
현의 절반 $= \sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
따라서 현 $c = 2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
Unit 10 공식
원주 $2\pi r$ · 넓이 $\pi r^2$
부채꼴 호 $2\pi r\times\dfrac{\theta}{360}$ · 넓이 $\pi r^2\times\dfrac{\theta}{360}=\dfrac{1}{2}rl$
★ 정답
현의 길이 비
최종 답 — ②번
$a : b : c = 1 : \sqrt{2} : \sqrt{3}$
$r=1$로 놓기 (비율만 필요하므로)
60°: 정삼각형 → $a = 1$
90°: 직각이등변삼각형 → $b = \sqrt{2}$
120°: 수선 이등분, 특수각 60° → $c = \sqrt{3}$
$a:b:c = 1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$ ≠ $2:3:4$ (중심각의 비)
단원 최고 핵심 메시지
중심각 비 = 60:90:120 = 2:3:4
호의 길이 비 = 60:90:120 = 2:3:4 (정비례 O)
현의 길이 비 = $1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$ — 중심각 비와 다름!
시험에서 "현도 중심각에 비례한다"는 ①번이 가장 많이 틀리는 선택지.
현은 호와 다르다 — 이 사실 하나가 이 단원의 알파이자 오메가.