유형 6 · H2
두 호 길이 차로 반지름 구하기
한 원에서 두 부채꼴 A, B가 있다.
A의 중심각 $= 60°$, B의 중심각 $= 80°$일 때,
두 부채꼴의 호의 길이 차가 $\dfrac{\pi}{3}$ cm이다.
이 원의 반지름을 구하여라.
💡 스스로 풀어봐요 — 반지름을 $r$로 놓고 두 호의 길이를 각각 구한 뒤 빼보세요.
Unit 10 공식
원주 $2\pi r$ · 넓이 $\pi r^2$
부채꼴 호 $2\pi r\times\dfrac{\theta}{360}$ · 넓이 $\pi r^2\times\dfrac{\theta}{360}=\dfrac{1}{2}rl$
Step 1
두 호의 길이를 r로 표현
같은 원이므로 반지름 r은 동일. 중심각만 다르다.

각 부채꼴 호의 길이

부채꼴 A (60°): $\;l_A = 2\pi r \times \dfrac{60}{360} = \dfrac{\pi r}{3}$

부채꼴 B (80°): $\;l_B = 2\pi r \times \dfrac{80}{360} = \dfrac{4\pi r}{9}$
Unit 10 공식
원주 $2\pi r$ · 넓이 $\pi r^2$
부채꼴 호 $2\pi r\times\dfrac{\theta}{360}$ · 넓이 $\pi r^2\times\dfrac{\theta}{360}=\dfrac{1}{2}rl$
Step 2
차이 방정식 세우고 r 구하기
$l_B - l_A = \dfrac{\pi}{3}$ 조건을 이용한다.

방정식 풀이

$l_B - l_A = \dfrac{4\pi r}{9} - \dfrac{\pi r}{3} = \dfrac{\pi}{3}$

통분: $\dfrac{4\pi r}{9} - \dfrac{3\pi r}{9} = \dfrac{\pi}{3}$

$\dfrac{\pi r}{9} = \dfrac{\pi}{3}$

$r = 3$ (cm)
호의 차이 공식 관찰
$l_B - l_A = 2\pi r \times \dfrac{80-60}{360} = 2\pi r \times \dfrac{20}{360} = \dfrac{\pi r}{9}$
→ 차이는 "중심각의 차"로 바로 계산할 수 있다.
Unit 10 공식
원주 $2\pi r$ · 넓이 $\pi r^2$
부채꼴 호 $2\pi r\times\dfrac{\theta}{360}$ · 넓이 $\pi r^2\times\dfrac{\theta}{360}=\dfrac{1}{2}rl$
★ 정답
원의 반지름
최종 답
$r = 3$ cm

검산

$r=3$일 때:
60° 호 $= 2\pi(3)\times\dfrac{60}{360} = \pi$ cm
80° 호 $= 2\pi(3)\times\dfrac{80}{360} = \dfrac{4\pi}{3}$ cm
차이 $= \dfrac{4\pi}{3} - \pi = \dfrac{\pi}{3}$ cm ✓
$l_A = \dfrac{\pi r}{3}$, $l_B = \dfrac{4\pi r}{9}$ (두 호의 길이)
$l_B - l_A = \dfrac{\pi r}{9} = \dfrac{\pi}{3}$ 방정식 세우기
$r = 3$ cm
빠른 계산법
두 호의 차 = $2\pi r \times \dfrac{\theta_B - \theta_A}{360}$
중심각 차이가 20°이면 → $2\pi r \times \dfrac{20}{360} = \dfrac{\pi r}{9}$ 로 바로 쓸 수 있어요.
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