유형 6 · H1
중심각이 2배이면 호·넓이는 몇 배?
반지름이 $r$이고 중심각이 $\theta$인 부채꼴 A의 호의 길이를 $a$, 넓이를 $S_A$라 하자.
같은 반지름 $r$에서 중심각이 $2\theta$인 부채꼴 B의 호의 길이와 넓이를 $a$, $S_A$로 나타내어라.
💡 스스로 풀어봐요 — 호의 길이·넓이 공식에서 θ가 2배이면 전체 식은 어떻게 달라질까요?
Unit 10 공식
원주 $2\pi r$ · 넓이 $\pi r^2$
부채꼴 호 $2\pi r\times\dfrac{\theta}{360}$ · 넓이 $\pi r^2\times\dfrac{\theta}{360}=\dfrac{1}{2}rl$
Step 1
부채꼴 A 공식 정리
a와 S_A를 r, θ로 먼저 표현한다.
부채꼴 A (반지름 r, 중심각 θ)
호의 길이: $a = 2\pi r \times \dfrac{\theta}{360}$
넓이: $S_A = \pi r^2 \times \dfrac{\theta}{360}$
Unit 10 공식
원주 $2\pi r$ · 넓이 $\pi r^2$
부채꼴 호 $2\pi r\times\dfrac{\theta}{360}$ · 넓이 $\pi r^2\times\dfrac{\theta}{360}=\dfrac{1}{2}rl$
Step 2
부채꼴 B 공식 계산
θ → 2θ로 바꾸기만 하면 된다.
부채꼴 B (반지름 r, 중심각 2θ)
호의 길이:
$2\pi r \times \dfrac{2\theta}{360} = 2 \times \left(2\pi r \times \dfrac{\theta}{360}\right) = 2a$
넓이:
$\pi r^2 \times \dfrac{2\theta}{360} = 2 \times \left(\pi r^2 \times \dfrac{\theta}{360}\right) = 2S_A$
호·넓이는 중심각에 비례한다 (O)
반지름이 같을 때 중심각이 2배 → 호도 2배, 넓이도 2배.
공식 분자의 $\theta$만 2배가 되므로 전체가 정확히 2배.
현의 길이는 중심각에 비례하지 않는다 (X) ← 시험 함정!
Unit 10 공식
원주 $2\pi r$ · 넓이 $\pi r^2$
부채꼴 호 $2\pi r\times\dfrac{\theta}{360}$ · 넓이 $\pi r^2\times\dfrac{\theta}{360}=\dfrac{1}{2}rl$
★ 정답
부채꼴 B의 호의 길이와 넓이
최종 답
호의 길이 $= 2a$
넓이 $= 2S_A$
부채꼴 A: $a = 2\pi r \cdot \dfrac{\theta}{360}$, $S_A = \pi r^2 \cdot \dfrac{\theta}{360}$
부채꼴 B: $\theta \to 2\theta$ 치환 → 계수만 2배
호 $=2a$, 넓이 $=2S_A$
비례 관계 정리
반지름이 같을 때 — 호의 길이 ∝ 중심각 (O) · 넓이 ∝ 중심각 (O)
현의 길이는 중심각에 비례하지 않는다 — 시험에서 가장 많이 틀리는 함정!