유형 5 · H3
둘레·넓이 연립으로 반지름 구하기
어떤 부채꼴의 둘레가 $20$ cm이고 넓이가 $24$ cm²일 때,
이 부채꼴의 반지름을 구하여라.
💡 스스로 풀어봐요 — 둘레 공식 $2r+l=20$과 넓이 공식 $\dfrac{1}{2}rl=24$를 연립해 보세요.
Unit 10 공식
원주 $2\pi r$ · 넓이 $\pi r^2$
부채꼴 호 $2\pi r\times\dfrac{\theta}{360}$ · 넓이 $\pi r^2\times\dfrac{\theta}{360}=\dfrac{1}{2}rl$
Step 1
연립방정식 세우기
둘레와 넓이를 r, l에 관한 방정식 두 개로 나타낸다.
두 방정식
부채꼴 둘레 $= 2r + l$이므로
① $\quad 2r + l = 20$
부채꼴 넓이 $= \dfrac{1}{2}rl$이므로
② $\quad \dfrac{1}{2}rl = 24 \;\Rightarrow\; rl = 48$
둘레 공식 주의
부채꼴의 둘레 = 호의 길이 + 반지름 2개 = $l + 2r$
Unit 10 공식
원주 $2\pi r$ · 넓이 $\pi r^2$
부채꼴 호 $2\pi r\times\dfrac{\theta}{360}$ · 넓이 $\pi r^2\times\dfrac{\theta}{360}=\dfrac{1}{2}rl$
Step 2
l을 소거하여 r에 관한 방정식 만들기
①에서 l을 r로 표현한 뒤 ②에 대입한다.
대입 풀이
①에서 $l = 20 - 2r$
②에 대입: $r(20-2r) = 48$
$20r - 2r^2 = 48$
$2r^2 - 20r + 48 = 0$
$r^2 - 10r + 24 = 0$
$(r-4)(r-6) = 0$
$\therefore\; r = 4$ 또는 $r = 6$
Unit 10 공식
원주 $2\pi r$ · 넓이 $\pi r^2$
부채꼴 호 $2\pi r\times\dfrac{\theta}{360}$ · 넓이 $\pi r^2\times\dfrac{\theta}{360}=\dfrac{1}{2}rl$
Step 3
조건 확인 — l > 0 검증
r이 두 값이면 둘 다 맞는지 $l = 20 - 2r > 0$ 조건으로 확인한다.
각 해 검증
$r=4$: $l = 20-8 = 12 > 0$ ✓
$r=6$: $l = 20-12 = 8 > 0$ ✓
두 값 모두 유효 → 두 해 모두 정답
중1 수준 참고
이차방정식은 중2 단원이지만, 이 문제는 "인수분해로 풀 수 있는 형태"로 출제된 것.
$r^2-10r+24=0$의 두 근의 합 = 10, 곱 = 24임을 이용해 $(r-4)(r-6)=0$임을 확인.
Unit 10 공식
원주 $2\pi r$ · 넓이 $\pi r^2$
부채꼴 호 $2\pi r\times\dfrac{\theta}{360}$ · 넓이 $\pi r^2\times\dfrac{\theta}{360}=\dfrac{1}{2}rl$
★ 정답
부채꼴의 반지름
최종 답
$r = 4$ cm 또는 $r = 6$ cm
둘레: $2r+l=20$ → $l=20-2r$
넓이: $\dfrac{1}{2}rl=24$ → $rl=48$
대입: $r(20-2r)=48$ → $r^2-10r+24=0$
$(r-4)(r-6)=0$ → $r=4$ 또는 $r=6$ (둘 다 $l>0$ 성립)
이런 유형이 나오면?
$r$과 $l$ 두 미지수, 조건 두 개 → 연립방정식.
$\dfrac{1}{2}rl$ 공식을 쓰면 $\theta$ 없어도 풀린다는 점이 핵심!