1777년 4월, 독일 브라운슈바이크의 작은 집. 벽돌공 아버지와 정원사 어머니 사이에서 한 아이가 태어났어요. 이름은 카를 프리드리히 가우스.
집안은 가난했고, 아버지는 아들이 자기처럼 벽돌공이 되길 바랐어요. 그런데 가우스는 어릴 때부터 좀 이상한 아이였어요.
진짜였을지, 어머니가 자식 자랑하느라 부풀린 이야기였을지는 아무도 몰라요. 하지만 이 아이가 보통이 아니라는 건 곧 모두가 알게 됐어요.
가우스가 9살 때의 일이에요. 수업 시간에 선생님이 학생들을 조용히 시키려고 어려운 문제를 냈어요.
학생들이 한참 끙끙대고 있는데, 가우스는 곧바로 손을 들었어요. "5050입니다."
선생님이 깜짝 놀라 어떻게 풀었냐고 물었더니, 가우스가 이렇게 말했대요.
| 짝짓기 | 합 |
|---|---|
| 1 + 100 | 101 |
| 2 + 99 | 101 |
| 3 + 98 | 101 |
| ⋯ | ⋯ |
| 50 + 51 | 101 |
"양쪽 끝에서부터 짝지어 더하면 모두 101이에요. 그런 짝이 50개 있으니까 $101 \times 50 = 5050$."
세월이 흘러 가우스는 19살이 됐어요.
사실 그는 망설이고 있었어요. 수학을 좋아하긴 하는데, 글공부(문학·언어학)도 잘했거든요. "무엇으로 평생을 살까?" 한참 고민했어요.
그런데 1796년 3월 30일 새벽, 잠에서 깨자마자 한 가지 사실이 머릿속에 번쩍 떠올랐어요.
그날 가우스는 일기장에 이렇게 적었어요.
벽돌공의 아들이 19살에 결심한 그 한 줄이 인류의 수학 역사를 바꿨어요.
왜 이게 그렇게 대단한 일이었을까요? 유클리드 시대(BCE 300년경)부터 수학자들은 자(눈금 없는 직선자)와 컴퍼스만으로 도형을 그렸어요.
| 정$n$각형 | 자와 컴퍼스로 그릴 수 있나? |
|---|---|
| 정3각형 | ✅ 가능 (유클리드 시대부터) |
| 정4각형 | ✅ 가능 |
| 정5각형 | ✅ 가능 (유클리드 시대부터) |
| 정6각형 | ✅ 가능 |
| 정7각형 | ❌ 불가능 |
| 정8각형 | ✅ 가능 |
| 정9각형 | ❌ 불가능 |
| ⋯ | ⋯ |
| 정17각형 | ??? (2000년 동안 아무도 몰랐음) |
2000년 동안 누구도 정 17각형을 그리지 못했고, 누구도 "그릴 수 있다"고 증명하지 못했어요.
19살 가우스가 그날 새벽 "그릴 수 있다"는 걸 증명해버렸어요. 자와 컴퍼스만 있으면 정 17각형을 정확히 그릴 수 있다는 걸요.
가우스는 평생 정 17각형을 자랑스러워했어요. 후에 그는 이런 부탁을 했대요.
가우스가 발견한 정 17각형 작도법은 중1 수준에선 너무 어려워요. 하지만 우리도 가우스처럼 "다각형 속에 숨은 패턴"을 찾아볼 수 있어요.
| $n$각형 | 한 꼭짓점 | 전체 대각선 |
|---|---|---|
| 3 | 0 | 0 |
| 4 | 1 | 2 |
| 5 | 2 | 5 |
| 6 | 3 | 9 |
| $n$ | $n-3$ | $\dfrac{n(n-3)}{2}$ |
가우스가 1+2+...+100을 짝지어 푼 것처럼, 대각선도 "한 대각선이 두 꼭짓점에서 세어지니까 ÷2"라는 패턴이 숨어 있어요.
다각형을 한 꼭짓점에서 대각선으로 쪼개면, $n$각형은 $n-2$개의 삼각형으로 나뉘어요.
| $n$각형 | 분할 삼각형 | 내각의 합 |
|---|---|---|
| 사각형 | 2 | $180° \times 2 = 360°$ |
| 오각형 | 3 | $180° \times 3 = 540°$ |
| 육각형 | 4 | $180° \times 4 = 720°$ |
| $n$각형 | $n-2$ | $\boxed{180°(n-2)}$ |
| $n$각형 | 외각의 합 |
|---|---|
| 삼각형 | $360°$ |
| 사각형 | $360°$ |
| 오각형 | $360°$ |
| 백각형 | $360°$ |
별명"수학의 왕자(Princeps Mathematicorum)" — 19~20세기 수학자들이 그를 그렇게 불렀어요. 그가 손대지 않은 수학 분야가 거의 없거든요.
천문케레스(Ceres)를 찾아낸 사람 — 1801년 새 천체가 사라졌을 때, 24살 가우스가 단 몇 번의 관측으로 위치를 정확히 예측했어요. 위성 궤도 계산법의 시작.
통계"가우스 곡선" — 시험 성적의 종 모양 분포(정규분포)를 정리한 사람. 통계학의 토대.
지폐독일 10마르크 지폐 — 2002년 유로화로 바뀌기 전까지, 가우스의 얼굴과 가우스 곡선이 그려져 있었어요.
가우스가 19살 새벽에 정 17각형을 발견했을 때, 그 비밀은 사실 "다각형 안에 숨은 패턴"을 끝까지 따라간 결과였어요.
우리도 같은 일을 할 수 있어요. 너무 어려운 17각형까지는 아니더라도, 왜 삼각형은 180°인가? 왜 $n$각형은 $180°(n-2)$인가? 왜 외각은 항상 360°인가?
이런 왜?를 한 번이라도 직접 눈으로 확인하면, 다각형은 더 이상 외울 공식 덩어리가 아니에요.