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다각형이란?
다각형은 3개 이상의 선분으로 둘러싸인 평면도형이에요.
다각형 조건 3가지
- ① 평면 위에 있어야 한다 (입체는 다각형 X)
- ② 선분으로만 이루어져 있어야 한다 (곡선 X)
- ③ 닫혀 있어야 한다 (열린 도형 X)
구성 요소
| 용어 | 뜻 |
|---|
| 변 | 다각형을 둘러싸는 선분 |
| 꼭짓점 | 변과 변이 만나는 점 |
| 이웃하는 변 | 한 꼭짓점을 공유하는 두 변 |
$n$각형은 변 $n$개, 꼭짓점 $n$개
이름
| 변 | 이름 | 변 | 이름 |
|---|
| 3 | 삼각형 | 7 | 칠각형 |
| 4 | 사각형 | 8 | 팔각형 |
| 5 | 오각형 | ⋯ | ⋯ |
| 6 | 육각형 | $n$ | $n$각형 |
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대각선 — 이웃 안 하는 두 꼭짓점
대각선은 다각형에서 이웃하지 않는 두 꼭짓점을 이은 선분이에요. (이웃하는 꼭짓점 사이는 변이지 대각선이 아니에요.)
$n$각형오각형
한 꼭짓점에서 그릴 수 있는 대각선 ($n-3$)2
전체 대각선 수 ($\dfrac{n(n-3)}{2}$)5
왜 $n-3$ 일까?
한 꼭짓점에서 다른 모든 꼭짓점에 직선을 그어보면 — $n-1$개의 선이 나오겠죠 (자기 자신 제외).
그 중에서 이웃하는 두 꼭짓점으로 가는 2개는 변이지 대각선이 아니에요. 그래서 빼면:
한 꼭짓점에서 그릴 대각선 $= (n-1) - 2 = n - 3$
왜 ÷ 2 일까?
꼭짓점이 $n$개니까, 각 꼭짓점마다 $(n-3)$개씩 — 다 합하면 $n(n-3)$개. 그런데 한 대각선의 양쪽 끝이 두 꼭짓점이라서 두 번 세어졌어요. 그래서 ÷ 2 해야 해요.
$$\boxed{\;n\text{각형의 대각선 수} = \dfrac{n(n-3)}{2}\;}$$
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삼각형의 내각·외각
내각의 합 = 180°
삼각형 세 내각의 합은 항상 180°. 이게 모든 다각형 공식의 출발점이에요.
$\angle A$60°
$\angle B$60°
$\angle C$ (자동 계산)60°
합 (항상 180°)180°
외각의 정리
삼각형의 한 외각은 그 외각과 이웃하지 않는 두 내각의 합과 같아요.
$\angle\text{외}_B = \angle A + \angle C$
왜? $\angle A + \angle B + \angle C = 180°$이고, $\angle B + \angle\text{외}_B = 180°$ (평각). 두 식을 비교하면 $\angle\text{외}_B = \angle A + \angle C$.
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$n$각형 내각의 합 — 삼각형으로 쪼개기
가우스의 정신: "패턴이 보일 때까지 작은 단위로 쪼개라."
다각형의 한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점들로 대각선을 그어보면, 다각형은 여러 개의 삼각형으로 나뉘어요. 삼각형 하나당 내각의 합은 180°니까, 삼각형 개수만 알면 끝.
$n$각형오각형
분할 삼각형 수 ($n-2$)3
한 삼각형의 내각 합180°
전체 내각 합 ($180°(n-2)$)540°
$$\boxed{\;S = 180°(n-2)\;}$$
예시 표
| $n$ | 도형 | $n-2$ | $180°(n-2)$ |
|---|
| 3 | 삼각형 | 1 | 180° |
| 4 | 사각형 | 2 | 360° |
| 5 | 오각형 | 3 | 540° |
| 6 | 육각형 | 4 | 720° |
| 10 | 십각형 | 8 | 1440° |
| 12 | 십이각형 | 10 | 1800° |
⚠️ 자주 하는 실수: $180°(n-2)$가 아니라 $180° \times n$으로 외우면 안 돼요. 분할되는 삼각형 수는 $n-2$. 사각형은 2개의 삼각형으로 나눠지지, 4개로 안 나눠져요.
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외각의 합 — 항상 360°
이건 정말 신기한 사실이에요. 변이 몇 개든 상관없이, 다각형 외각의 합은 항상 360°.
$n$각형오각형
내각의 합 ($180°(n-2)$)540°
$180° \times n$900°
외각의 합 ($180°n - 180°(n-2)$)360°
$$\boxed{\;\text{외각의 합} = 360°\;\;(\text{n에 무관})\;}$$
두 가지 설명
설명 1 (대수) — 한 꼭짓점에서 (내각) + (외각) = 180°. 꼭짓점 $n$개의 합:
$180° \times n - 180°(n-2) = 360°$
설명 2 (직관, 한 바퀴) — 다각형 둘레를 따라 한 바퀴 걸으면, 내가 향하는 방향이 결국 360° 돌아와요. 각 꼭짓점에서 회전하는 양이 외각이고, 그 합이 정확히 한 바퀴 = 360°.
🌀 변이 100개여도 360°. 변이 잘게 쪼개질수록 외각 하나는 작아지지만 (예: 정100각형은 한 외각이 3.6°), 합은 변하지 않아요. 한 바퀴는 한 바퀴니까.
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정$n$각형 — 모두 같은 다각형
정다각형은 모든 변과 모든 내각이 같은 다각형이에요.
⚠️ 두 조건 모두 필요: 변만 같으면 마름모(내각이 다를 수 있음), 내각만 같으면 직사각형(변이 다를 수 있음). 둘 다 같아야 정다각형.
정$n$각형은 모든 내각·외각이 같으니, 합을 $n$으로 나누면 한 내각·한 외각을 알 수 있어요.
정$n$각형정오각형
한 외각 ($\dfrac{360°}{n}$)72°
한 내각 ($180° - $ 한 외각)108°
검산 ($\dfrac{180°(n-2)}{n}$)108°
한 외각 $= \dfrac{360°}{n}$ · 한 내각 $= 180° - \dfrac{360°}{n}$
💡 한 외각부터 구하는 게 빠르다 — 외각의 합은 항상 360°라서 그냥 $n$으로 나누면 끝. 한 내각이 필요하면 $180°$에서 빼면 돼요.
정$n$각형 한 외각·한 내각 표
| 정$n$각형 | 한 외각 | 한 내각 |
|---|
| 정3 | 120° | 60° |
| 정4 | 90° | 90° |
| 정5 | 72° | 108° |
| 정6 | 60° | 120° |
| 정8 | 45° | 135° |
| 정9 | 40° | 140° |
| 정10 | 36° | 144° |
| 정12 | 30° | 150° |
✏️ 직접 써보세요 — 정15각형의 한 외각과 한 내각은?