문제 · Page 0
단계별로 풀어볼까요?
정답은 마지막에 확인해요. 먼저 스스로 생각해보고, 막히면 다음 단계로 넘어가세요.
📖 용어 노트
$n$각형 내각의 합: $(n-2)\times180°$ · $n$각형 외각의 합: 항상 $360°$ ($n$에 무관) · 정$n$각형 한 내각: $(n-2)\times180°\div n$ · 대각선 수: $n(n-3)\div2$ · 대각선: 이웃하지 않는 두 꼭짓점을 잇는 선분
유형 7 · H3
정$n$각형의 한 내각의 크기가 자연수가 되도록 하는 $n$ 중에서 $n=3$ 다음으로 가장 작은 값을 구하시오. (단, $n \geq 3$)
🤔 잠깐, 손으로 풀어보세요
정$n$각형 한 내각 $= \dfrac{(n-2)\times180}{n}$이에요. 이 값이 자연수가 되려면 $n$이 어떤 조건을 만족해야 할까요?
1단계 · Page 1
공식 변형 — 자연수 조건 파악
왜 이 단계? — 한 내각 공식을 변형해, 자연수가 되는 조건이 무엇인지 찾아요.
📖 용어 노트
정$n$각형 한 내각: $\dfrac{(n-2)\times180°}{n}$
공식 변형
$$\frac{(n-2)\times180}{n} = 180 - \frac{360}{n}$$
$180$은 항상 자연수이므로, $\dfrac{360}{n}$도 자연수여야 해요.
즉, $n$이 $360$의 약수여야 해요.
2단계 · Page 2
360의 약수 중 가장 작은 $n \geq 3$ 찾기
왜 이 단계? — $n$은 $360$의 약수이고 $n \geq 3$이어야 해요. $n=3$ 다음 값을 찾아요.
📖 용어 노트
$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ (약수 목록에서 $\geq 3$인 것만 필요)
360의 약수 (작은 것부터)
$1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, \ldots$
$n \geq 3$이고 다각형이어야 하므로 $n=3$이 첫 번째,
그 다음은 $n = 4$예요.
3단계 · Page 3
검산 — $n=3$과 $n=4$ 확인
왜 이 단계? — 실제로 한 내각이 자연수인지 대입해서 확인해봐요.
📖 용어 노트
정삼각형 한 내각 $= 60°$, 정사각형 한 내각 $= 90°$
검산
| $n$ | $180 - 360/n$ | 자연수? |
|---|
| 3 | $180 - 120 = 60°$ | ✓ |
| 4 | $180 - 90 = 90°$ | ✓ |
| 5 | $180 - 72 = 108°$ | ✓ (5도 약수) |
$n=3$ 다음으로 작은 값은 $n=4$예요.
정답 · Page ★
정답 + 풀이 흐름 요약
📖 용어 노트
$n$각형 내각의 합: $(n-2)\times180°$ · $n$각형 외각의 합: 항상 $360°$ · 정$n$각형 한 내각: $180 - \dfrac{360}{n}$ · 대각선 수: $n(n-3)\div2$
$n = 4$ (정사각형)
(한 내각 $90°$ — 자연수 ✓, $n=3$ 다음 최솟값)
전체 풀이 흐름
1
정$n$각형 한 내각 $= 180 - \dfrac{360}{n}$ 으로 변형
2
자연수가 되려면 $\dfrac{360}{n}$이 자연수 → $n$이 $360$의 약수
3
$360$의 약수 중 $n \geq 3$: $3, 4, 5, 6, \ldots$ → $n=3$ 다음 = $n=4$
⚠️ 이 유형의 핵심 패턴
"정$n$각형 한 내각이 자연수" 문제는 $180 - \dfrac{360}{n}$으로 변형하는 것이 핵심이에요. 이후 "$\dfrac{360}{n}$이 자연수 → $n$이 $360$의 약수" 로 이어지는 논리를 기억해요.