깊이 탐구 — 정다각형·종합 (★)

이 유형이 어려운 이유

정다각형 공식은 외우기 쉽지만, 역산 문제(한 외각/한 내각 → $n$)나 비례 문제에서 자주 막혀요. 또 "한 외각 먼저 vs 한 내각 먼저" 어느 길로 가야 빠른지 판단이 필요해요.

핵심 아이디어 — 한 외각이 항상 우선

한 외각 = $\dfrac{360°}{n}$

한 내각 = $180° - $ 한 외각 $= 180° - \dfrac{360°}{n}$

왜 한 외각이 빠른가?
한 내각 직접 공식 $\dfrac{180°(n-2)}{n}$도 있지만, 외각의 합이 항상 $360°$이라는 사실 덕분에 한 외각은 단순한 나눗셈으로 끝나요. 그 다음 $180°$에서 빼면 끝.

정$n$각형 한 외각/한 내각 (외워두기)

$n$	한 외각	한 내각
3	120°	60°
4	90°	90°
5	72°	108°
6	60°	120°
8	45°	135°
9	40°	140°
10	36°	144°
12	30°	150°
15	24°	156°
18	20°	160°
20	18°	162°

꿀팁: 시험에 자주 나오는 정5, 6, 8, 10, 12각형의 한 내각/외각은 외워두면 시간이 절약돼요.

역산 패턴

한 외각 → $n$: $n = \dfrac{360°}{\text{한 외각}}$
한 내각 → $n$: 먼저 한 외각 = $180° - $ 한 내각, 그 다음 $n = \dfrac{360°}{\text{외각}}$
내각 : 외각 비례 → 합이 $180°$이므로 비례로 외각 구하기

자주 하는 실수

❌

"한 외각 = $\dfrac{180°}{n}$"

아니에요. 외각의 합은 360°이니까 한 외각 = $\dfrac{360°}{n}$.

❌

"한 내각 = $\dfrac{180°}{n}$"

한 내각 직접 공식은 $\dfrac{180°(n-2)}{n}$. 또는 $180° - $ 한 외각.

❌

정다각형 = 모든 변이 같은 다각형

변만 같으면 마름모일 수 있어요. 변과 내각 모두 같아야 정다각형. (또는 변과 외각 모두 같음.)

추가 문제

PROB 1

정$n$각형의 한 내각이 $156°$일 때 $n$의 값을 구하시오.

한 외각 = $180° - 156° = 24°$. $\dfrac{360°}{n} = 24°$ → $n = 15$. 정십오각형.

PROB 2

정다각형의 한 내각의 크기와 한 외각의 크기의 비가 $4 : 1$일 때, 이 정다각형의 한 외각의 크기와 변의 수를 구하시오.

내각:외각 = 4:1, 합 = 5 → 외각 = $180° \times \dfrac{1}{5} = 36°$. $n = \dfrac{360°}{36°} = 10$. 정십각형, 한 외각 36°.

PROB 3

정$n$각형의 한 내각이 한 외각의 7배일 때 $n$을 구하시오.

내각 = 7×외각, 합 = 180° → 8×외각 = 180° → 외각 = 22.5°. $n = \dfrac{360°}{22.5°} = 16$. 정십육각형.

🔗 연결 개념

정다각형 공식은 유형 7 종합 문제의 핵심 도구. 별 모양·복합 도형에서도 정다각형의 한 내각/외각을 알면 풀이가 단순해져요. 또 단원 11(다면체)에서 정다면체의 한 면이 정다각형이라 이 공식이 직접 활용돼요.

이 유형이 어려운 이유

종합·복합 유형은 여러 다각형이 합쳐지거나, 보조선·별 모양이 들어간 그림에서 각을 구해야 해요. 어디부터 시작할지 막막한 게 가장 큰 어려움.

핵심 전략 — "삼각형으로 쪼개라"

가우스가 1+2+...+100을 짝지어 푼 것처럼, 복잡한 다각형 문제는 "내가 아는 도형(삼각형·사각형·정다각형)으로 쪼개기"로 풀려요.

별 모양 → 끝각의 합 (오각성 = 180° 고정)
도형 합체 → 외곽 변의 수 + 사라지는 꼭짓점 체크
보조선 → 다각형 일부를 삼각형으로 만들어 외각의 정리 활용
비례식 → $kx + lx + mx + ... = $ 내각합

핵심 사실 — 외워두면 시간 절약

오각성(별 모양) 다섯 끝각의 합 = $180°$
육각성 여섯 끝각의 합 = $360°$
사각형의 내각합과 외각합은 둘 다 $360°$ — 사각형이 유일
다각형의 외각합은 무조건 $360°$ (변에 무관)
정다각형 한 내각 자연수 ⇔ $n$이 360의 약수 (3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, ...)

자주 하는 실수

❌

도형 합체에서 사라지는 꼭짓점 놓침

두 다각형이 한 변을 공유할 때, 공유 변 양 끝점에서 두 내각의 합이 $180°$(평각)가 되면 그 점은 새 다각형의 꼭짓점이 아니에요. 정육각형(120°) + 정삼각형(60°) = 180° 평각 → 점 사라짐.

❌

별 모양 끝각 = 360°로 착각

오각성(다섯 점 별)의 끝각 합은 $180°$ (한 삼각형 분량). 이는 외각의 정리로 도출 가능.

❌

"한 내각의 도수 = 대각선 개수"라는 식의 단위 혼동

도수(°)와 개수는 단위가 다른 양이라 직접 비교는 의미가 약해요. 시험에 등장하면 함정 문제.

추가 문제 (난이도 ↗)

PROB 1

정육각형 한 변의 길이가 $2$cm일 때, 정육각형 안에 모든 대각선을 그으면 만들어지는 작은 도형들 중 정삼각형의 개수를 구하시오. (참고: 정육각형은 6개의 정삼각형으로 분할됨)

정육각형은 중심에서 6개의 꼭짓점으로 선분을 그으면 6개의 정삼각형으로 분할돼요. (대각선 중 가장 긴 3개가 모두 중심을 지남.)
그 외에도 정육각형 내부 대각선들이 만들어내는 정삼각형들이 더 있는데, 중심 분할이 이루는 6개가 가장 명확한 답.
최소 6개 (중심에서의 대각선 3개에 의한 6개 정삼각형 분할).

PROB 2

한 변의 길이가 같은 정사각형 위에 정삼각형이 한 변을 공유하며 바깥쪽으로 붙어 있다. 두 도형이 합쳐 이루는 새 다각형의 변의 수, 꼭짓점의 수, 내각의 합을 구하시오.

정사각형 한 내각 90° + 정삼각형 한 내각 60° = 150° (평각이 아님 → 공유점 살아남음).
변: 4 + 3 - 2 = 5개. 꼭짓점: 4 + 3 - 2 = 5개. 오각형.
내각합 = $180° \times 3 = 540°$. (검산: $90+90+60+150+150 = 540°$ ✓)

PROB 3

정$n$각형의 한 내각이 자연수가 되는 $n$의 개수 중 $3 \leq n \leq 30$인 것을 모두 구하시오.

한 내각 자연수 ⇔ 한 외각 자연수 ⇔ $n$이 360의 약수.
360의 약수 중 $3 \leq n \leq 30$: $\{3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30\}$ — 총 13개.
(7, 11, 13, 14, 16, 17, 19, ... 등은 360의 약수가 아님 — 한 외각이 분수가 됨.)

🔗 연결 개념 — 가우스의 17각형으로 가는 길

중1에서 배우는 정$n$각형의 한 내각/외각은 단순한 나눗셈이지만, "어떤 $n$이 자연수의 한 내각을 갖는가" — $n$이 360의 약수일 때만 — 라는 사실은 정수론의 첫걸음이에요.
가우스는 한 발 더 나갔어요: "어떤 $n$이 자와 컴퍼스만으로 작도 가능한가?" 답은 페르마 소수($2^{2^k}+1$ 꼴 소수)와 관련된 정수론의 깊은 결과. 17 = 2⁴+1이 페르마 소수라서 정 17각형이 작도 가능했던 거예요.
중1 다각형 → 고1 정수론 → 대학 추상 대수의 길이 정 17각형 한 작품에 다 들어 있어요.

★ 깊이 탐구 — 정다각형·종합

정$n$각형 한 외각/한 내각 (외워두기)

역산 패턴

핵심 사실 — 외워두면 시간 절약