지난 단원에서 우리는 「원론」이라는 책의 첫 페이지를 펼쳐 봤어요.
점·선·면·각의 정의, 5개의 공준,
그리고 "기하학에는 왕도가 없다"는 한 마디.
오늘 다시 유클리드를 만나러 가요.
하지만 이번엔 책상 위가 아니라, 그의 두 손을 봐요.
유클리드의 두 손
한 손에는 자가 들려 있어요.
다른 손에는 컴퍼스가 들려 있어요.
이상하지 않아요? 세상에 도구가 얼마나 많은데,
이 사람은 왜 딱 두 가지만 들고 있는 걸까요?
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이야기 2 / 7
두 가지 도구의 약속
유클리드 학교에는 이상한 약속이 있었어요.
"도형을 그릴 때는 눈금 없는 자와 컴퍼스만 써라."
— 유클리드 학교의 약속
자에는 눈금이 없어야 했어요.
센티미터, 밀리미터… 그런 게 적혀 있으면 안 됐어요.
그냥 반듯한 막대기 같은 거였죠.
컴퍼스는 우리가 아는 컴퍼스예요.
한 다리는 한 점에 꽂고, 다른 다리는 빙 둘러서 원을 그리는 도구.
이 두 가지로 할 수 있는 일은 정확히 두 가지뿐이에요.
도구
할 수 있는 일
눈금 없는 자
두 점을 연결해 직선 긋기
컴퍼스
한 점을 중심으로 원 그리기 / 길이 옮기기
왜 이렇게 답답하게 만들었을까요?
각도기로 각을 재면 빠르고, 자에 눈금이 있으면 길이도 한 번에 잴 수 있는데,
왜 굳이 도구를 줄였을까요?
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이야기 3 / 7
「원론」 명제 1 — 정삼각형 작도
너에게 "정삼각형을 그려봐"라고 했어요.
세 변의 길이가 똑같은 삼각형 말이에요.
각도기와 눈금 자가 있다면 60°를 두 번 재고, 5cm씩 그리면 빠르긴 한데…
손이 살짝 떨려서 60.5°가 되거나 4.9cm가 되면 정확하지 않아요.
유클리드는 컴퍼스만으로 정확한 정삼각형을 그렸어요.
1
자로 직선을 한 줄 긋고 양 끝을 점 A, B라고 해요.
2
컴퍼스를 A에 꽂고, B까지 벌려서 호를 그어요.
3
컴퍼스를 똑같이 벌린 채 B에 꽂고, 호를 그어요.
4
두 호가 만나는 점을 C라고 해요.
5
A와 C, B와 C를 자로 이어요. → 정삼각형 ABC 완성!
왜 세 변이 같을까?
컴퍼스를 한 번도 다시 벌리지 않았어요.
A에서 그은 호 위의 모든 점은 A에서 같은 거리,
B에서 그은 호 위의 모든 점은 B에서 같은 거리예요.
두 호가 만난 점 C는 A에서도 B에서도 같은 거리예요.
따라서 $\overline{AC} = \overline{AB} = \overline{BC}$.
적은 도구로 더 확실한 진실을 만든다.
— 「원론」 1권 명제 1의 정신
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이야기 4 / 7
우리도 따라 해 봐요
유클리드의 정신을 이어받아, 우리도 자와 컴퍼스만으로 도형을 그려요.
이걸 작도(作圖)라고 해요. "만들어 그리기"라는 뜻이에요.
이번 단원에서 우리는 4가지 기본 작도를 배워요.
작도
무엇을 만드나
선분 옮기기
주어진 선분과 같은 길이의 선분
각 옮기기
주어진 각과 크기가 같은 각
수직이등분선
선분을 반으로 나누면서 수직인 선
각의 이등분선
각을 정확히 반으로 나누는 반직선
각각이 마법 같아요.
컴퍼스를 두 번, 세 번 정도만 움직였는데
정확히 가운데가 나오고,
정확히 절반이 나오고,
정확히 90°가 나와요.
각도기 없이, 눈금 없이.
💡 우리 단원의 개념 탐구 앱에서 한 단계씩 직접 해 볼 거예요.
컴퍼스의 호가 어디에서 만나는지, 왜 거기서 만나는지가 보일 거예요.
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이야기 5 / 7
같다는 건 정확히 무엇인가요?
작도를 배우다 보면 자연스럽게 한 가지 질문이 떠올라요.
"두 도형이 '같다'는 건 정확히 무슨 뜻일까?"
크기가 같으면 같은 건가요? 모양이 비슷하면 같은 건가요?
수학에서는 더 엄밀하게 말해요.
두 도형을 포개서 완전히 겹치면 그 두 도형은 합동(合同)이에요.
기호로는 이렇게 써요.
합동 기호
$$\triangle ABC \equiv \triangle DEF$$
"≡"는 "같다"는 뜻이지만, "꼭 포개진다"는 더 강한 의미예요.
여기서 한 가지 약속이 있어요.
꼭짓점 이름은 대응하는 순서대로 써야 해요.
⚠️ 순서를 마음대로 쓰면 안 돼요.
$\triangle ABC \equiv \triangle EFD$라고 쓰면 다른 도형을 의미해요.
이름의 순서가 곧 도형 위 위치예요.
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이야기 6 / 7
같은 삼각형이 되려면 무엇이 필요한가요?
두 친구가 각자 자기 방에서 종이에 삼각형을 그려요.
서로 만나서 "내 삼각형이랑 똑같이 그려봐"라고 말하려면
최소한 어떤 정보를 알려줘야 할까요?
한번 생각해 봐요
세 변의 길이를 다 알려주면? — 좋아요.
세 각의 크기를 다 알려주면? — 음… 사실 이걸로는 안 돼요.
(크기가 달라도 모양이 같을 수 있거든요)
유클리드는 「원론」에서 이 문제를 정확히 풀었어요.
다음 세 가지 중 하나가 같으면 두 삼각형은 합동이에요.
조건
이름
무엇을 알아야
세 변
SSS
세 변의 길이
두 변과 끼인각
SAS
두 변과 그 사이의 각
한 변과 양 끝 각
ASA
한 변과 그 양 끝의 두 각
S는 Side(변), A는 Angle(각)을 뜻해요.
⚠️ SAS의 "끼인"이 핵심이에요.
두 변 사이의 각이라는 뜻이에요.
두 변과 아무 각이나 같다고 합동이 보장되는 건 아니에요.
끼인각이 아니면 두 가지 모양이 가능해서 합동이 안 돼요.
이 셋을 삼각형의 합동 조건이라고 해요.
2300년 전 유클리드가 「원론」 1권 명제 4(SAS)부터 차근차근 증명했어요.
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이야기 7 / 7
작도와 합동, 같은 이야기
흥미로운 점이 있어요.
삼각형 작도 조건과 삼각형 합동 조건이 정확히 같은 세 가지(SSS, SAS, ASA)예요.
우연일까요? 아니에요.
같은 동전의 앞뒤
"세 변이 주어지면 삼각형이 하나로 정해진다" → 작도 가능
"세 변이 같으면 두 삼각형은 포개진다" → 합동
두 문장은 같은 뜻이에요.
작도란 "이만큼의 정보로 도형이 유일하게 결정된다"를 손으로 보여주는 일이에요.
합동이란 "같은 정보가 있으면 같은 도형이다"를 정의로 말하는 일이에요. 같은 동전의 앞과 뒤예요.
손과 머리, 도구와 정의는 한 사람의 두 측면이었어요.
— Unit 07 ↔ Unit 08 정리
잡학 코너
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「원론」 명제 1
정의·공준 다음 첫 명제가 바로 정삼각형 작도예요. 인류가 손으로 만든 가장 오래된 정확한 정삼각형 중 하나.
❌
불가능 3대 문제
각의 삼등분, 정육면체 배가, 원의 정사각형화 — 2300년 후 19세기에 "자와 컴퍼스로는 불가능"이 증명됐어요.
⚠️
SSA가 안 되는 이유
두 변과 한 각이 같아도 그 각이 끼인각이 아니면 두 가지 모양 가능. 고등학교 사인법칙에서 다시 만나요.
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종이접기 작도
종이접기로는 자·컴퍼스보다 더 많은 작도가 가능! 각의 삼등분도 종이접기로는 됩니다. 도구가 곧 가능성의 경계.
✍️ 글쓰기 미션 (셋 중 하나 골라서)
1. 유클리드가 학생들에게 처음으로 정삼각형 작도를 보여주는 장면을 상상해 보세요. 컴퍼스를 한 번도 다시 벌리지 않고 정삼각형이 나타나는 순간, 한 학생의 마음을 짧은 글로 써 보세요. (200~400자)
2. 만약 너에게 "도구를 하나 줄여라"라고 한다면, 일상에서 어떤 도구를 줄일 수 있을까요? 그 도구를 줄였을 때 얻는 것과 잃는 것은? (자유롭게)
3. 두 친구가 같은 모양의 그림을 그리려고 해요. 어떤 정보를 주고받으면 "정확히 같은 그림"이 보장될까요? 삼각형 말고 다른 도형(직사각형? 원? 별 모양?)으로 합동 조건을 만들어 보세요. (자유롭게)