📌 약속
자에는 눈금이 없어야 해요. (길이를 직접 재면 안 됨)
각도기는 사용 금지. 각의 크기를 직접 재면 안 됨.
허용되는 조작은 두 가지: ① 자로 직선 긋기 ② 컴퍼스로 원/호 그리기
왜 도구를 줄였을까?
각도기 없이도, 눈금 없이도 정확한 도형을 만들 수 있어요.
컴퍼스의 호 위 모든 점은 중심에서 같은 거리 — 이 성질이 모든 작도의 근거예요.
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개념 2 / 6
길이 옮기기 · 같은 각 옮기기
가장 기초 작도 두 가지를 먼저 만나요. 컴퍼스가 어떻게 "같은 길이"와 "같은 각"을 만드는지 보여줘요.
핵심 아이디어
같은 컴퍼스 벌림은 곧 같은 길이와 같아요.
길이를 옮길 때도, 각을 옮길 때도 컴퍼스의 반지름을 두 번 사용해서 "두 점 사이 거리"를 보존해요.
💡 컴퍼스는 길이를 "기억"하는 도구예요. 이 점이 모든 작도의 출발이에요.
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개념 3 / 6
수직이등분선 — 단계별 작도
선분 $\overline{AB}$를 정확히 반으로 나누면서 동시에 수직인 선이에요.
아래 버튼을 한 단계씩 눌러보세요.
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왜 P가 A에서도 B에서도 같은 거리일까?
A 중심 호와 B 중심 호의 반지름이 같기 때문이에요.
호 위 모든 점은 중심에서 같은 거리.
같은 반지름의 두 호가 만난 P는 A와 B에서 같은 거리예요.
따라서 직선 PQ는 AB의 수직이등분선이 돼요.
⚠️ 호의 반지름이 $\overline{AB}/2$보다 커야 해요.
너무 작으면 두 호가 만나지 않아요. 보통 $\overline{AB}$ 정도로 크게 잡아요.
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개념 4 / 6
각의 이등분선 — 단계별 작도
한 각 ∠XOY를 정확히 반으로 나누는 반직선을 만들어요.
각도기 없이 컴퍼스만으로요.
현재 단계: 0 / 4
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왜 OP가 ∠XOY를 이등분할까?
삼각형 OAP와 OBP에서:
$\overline{OA} = \overline{OB}$ (1단계 같은 호의 반지름)
$\overline{AP} = \overline{BP}$ (2·3단계 같은 반지름)
$\overline{OP}$는 공통
→ 두 삼각형은 SSS 합동 → ∠AOP = ∠BOP
💡 합동 조건이 작도의 정확성을 보장해요. 작도와 합동은 한 몸이에요.
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개념 5 / 6
합동 ≡ 와 대응
두 도형을 포개서 완전히 겹치면 그 두 도형은 합동(congruent)이에요.
📌 합동 기호 ≡
"$=$"는 수가 같다는 뜻이고, "$\equiv$"는 도형이 포개진다는 뜻이에요.
$\triangle ABC \equiv \triangle DEF$로 쓰고 "삼각형 ABC와 DEF는 합동이다"라고 읽어요.
대응 종류
예시
대응점
$A \leftrightarrow D, B \leftrightarrow E, C \leftrightarrow F$
대응변
$\overline{AB} \leftrightarrow \overline{DE}$ 등
대응각
$\angle A \leftrightarrow \angle D$ 등
합동의 성질
합동인 두 도형에서 대응변의 길이가 같고, 대응각의 크기가 같아요.
역방향: 모든 대응변·대응각이 같으면 합동.
⚠️ 표기 순서가 곧 대응이에요.
$\triangle ABC \equiv \triangle DEF$와 $\triangle ABC \equiv \triangle EFD$는 완전히 다른 의미예요.
이름을 막 쓰면 안 돼요. A의 대응점이 D인지, E인지, F인지 — 순서가 정해줘요.
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개념 6 / 6
삼각형 합동 조건 — SSS · SAS · ASA
두 삼각형이 합동인지 알려면 여섯 가지(세 변 + 세 각)를 다 비교할 필요가 없어요.
세 가지 중 하나만 같아도 합동이에요.
SSS — Side-Side-Side
세 변의 길이가 각각 같으면 두 삼각형은 합동.
→ "세 변이 정해지면 삼각형 모양이 하나로 결정된다"의 다른 말.
SAS — Side-Angle-Side
두 변의 길이와 그 사이에 끼인각이 같으면 합동.
→ 「원론」 1권 명제 4 (유클리드가 처음 증명한 합동).
⚠️ "두 변 + 한 각"이라고 다 SAS가 아니에요. 그 각이 두 변 사이에 있어야 해요. 끼인각이 아니면 SSA가 되고 합동이 보장 안 돼요.
ASA — Angle-Side-Angle
한 변과 그 양 끝의 두 각이 같으면 합동.
→ 두 각이 정해지면 세 번째 각도 자동 결정 (각의 합 180°).
⚠️ SSA는 합동 조건이 아니에요.
한 변(파랑) + 다른 한 변(초록) + 한 끝 각(빨강 30°)이 같다고 해도
다른 모양의 삼각형이 가능해요. 끼인각이 아닌 한 각만 같으면 모양이 두 가지 나올 수 있거든요.
왜 두 가지가 나오나요?
A를 중심으로 같은 반지름의 호를 그리면 빨간 변과 두 점에서 만날 수 있어요.
P₁(가까운 점), P₂(먼 점) — 두 삼각형 모두 "두 변과 한 각" 조건은 만족하지만 모양은 달라요.
이게 "ambiguous case"(모호한 경우)예요.