지난 시간에 우리는 데카르트가 침대에 누워 천장의 파리를 보다가 좌표를 발명한 이야기를 들었어요. $(x, y)$ 두 숫자로 점의 위치를 표현하는 그 약속 말이에요.
그런데 좌표만 만들고 끝났다면, 데카르트의 이야기는 이렇게 길게 전해지지 않았을 거예요.
데카르트가 정말로 세상을 바꾼 순간은, 좌표를 만든 다음 떠올린 두 번째 질문이었어요.
데카르트는 1637년에 「방법서설」이라는 철학책을 냈어요. 그 유명한 "나는 생각한다, 고로 존재한다"가 들어 있는 책이죠.
이 책 뒤에는 작은 부록 세 개가 붙어 있었는데, 그 중 마지막이 「기하학(La Géométrie)」이라는 100페이지짜리 글이었어요.
지금 우리가 쓰는 거의 모든 수학 — 함수, 그래프, 미적분, 컴퓨터 그래픽 — 은 사실 이 100페이지에서 시작했어요. 본문(철학)보다 부록(수학)이 더 유명해진 보기 드문 책이죠.
데카르트가 보여준 첫 번째 마술. 식 하나를 잡아요.
이건 그냥 글자와 숫자의 약속이에요. "$y$는 $x$의 2배다"라는 말.
이제 데카르트가 가르쳐준 대로 해볼게요.
| $x$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 |
이 다섯 짝을 좌표로 본 거예요: $(-2, -4)$, $(-1, -2)$, $(0, 0)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$.
좌표평면에 점 다섯 개를 찍고 잘 보면 — 한 직선 위에 정확히 놓여요.
데카르트의 두 번째 마술. 이번엔 다른 식이에요.
"$x$와 $y$를 곱하면 항상 6이다"라는 약속이에요.
| $x$ | 1 | 2 | 3 | 6 | -1 | -2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | 6 | 3 | 2 | 1 | -6 | -3 |
이 점들을 좌표평면에 찍고 부드럽게 이어보면 — 두 갈래 곡선이 나타나요. 이걸 쌍곡선(雙曲線, hyperbola)이라고 해요.
식만 보고 못 풀겠으면 그림으로 그려보세요.
그림에서 안 보이면 식으로 따져보세요.
같은 이야기를 두 가지 언어로 할 수 있는 거예요.
| 식의 언어 | 그림의 언어 |
|---|---|
| $y = 2x$ | 원점을 지나는 직선, 오른쪽 위로 |
| $y = -2x$ | 원점을 지나는 직선, 오른쪽 아래로 |
| $y = \dfrac{6}{x}$ | 1·3사분면의 쌍곡선 |
| $y = \dfrac{-6}{x}$ | 2·4사분면의 쌍곡선 |
식이 어렵게 느껴질 때는 그림으로 옮겨봐요.
그림이 막막할 때는 식으로 옮겨봐요.
데카르트가 우리에게 준 마법의 도구예요.
마지막으로 데카르트가 우리에게 슬쩍 준 작은 함정 하나만 짚고 넘어갈게요.
식 $y = \dfrac{a}{x}$ 에서 $a = -2$ 라면, 이 식은 어떻게 될까요?
분자에 $-2$가 통째로 들어가요. 분자 전체에 부호가 들어가는 약속이에요.
이걸 사람에 따라 이렇게도 써요:
세 형태가 모두 같은 식이에요. 그래프도 같은 모양 (2·4사분면 쌍곡선)이고요.