PAGE 1 / 5
정비례 — $y = ax$
$x$가 2배, 3배 되면 $y$도 2배, 3배가 되는 관계.
정의
두 변수 $x$, $y$ 사이에 다음과 같은 관계가 있을 때 $y$는 $x$에 정비례한다고 해요.
$y = ax$ ($a \neq 0$)
여기서 $a$를 비례상수라고 해요. 항상 같은 값으로 정해져 있어요.
📌 또 다른 모습
$y = ax$ 의 양변을 $x$로 나누면: $\dfrac{y}{x} = a$. 즉,
$y$를 $x$로 나눈 값이 항상 같다는 뜻이에요.
"$y$ 대 $x$의 비"가 일정하다는 거죠.
표로 확인 — $y = 2x$
| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|
| $y$ | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
|---|
| $y/x$ | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
|---|
마지막 줄을 봐요. $y/x$ 값이 항상 2로 같죠. 이게 비례상수 $a$예요.
⚠️ 주의
$y = ax + 3$ 같은 식은 정비례가
아니에요. 정비례는 반드시 $y = ax$ 형태, 즉
+ 상수항이 없는 형태여야 해요.
1 / 5
PAGE 2 / 5
정비례 그래프 — 직선이 되는 이유
$a$ 값을 직접 바꿔보며 그래프 모양 변화를 관찰해요.
👇 슬라이더를 움직여 $a$ 값을 바꿔보세요
$a = 2$이면 그래프는 1·3사분면을 지나는 직선. 원점을 지나요.
관찰 포인트
① 모든 정비례 그래프는 원점을 지나는 직선이에요.
② $a > 0$ 이면 1·3사분면 (오른쪽 위로 향함). $a < 0$ 이면 2·4사분면 (오른쪽 아래로 향함).
③ $|a|$ 가 클수록 직선이 $y$축에 가까워져요 (가팔라짐).
2 / 5
PAGE 3 / 5
반비례 — $y = a/x$
$x$가 2배, 3배 되면 $y$가 1/2배, 1/3배가 되는 관계.
정의
두 변수 $x$, $y$ 사이에 다음과 같은 관계가 있을 때 $y$는 $x$에 반비례한다고 해요.
$y = \dfrac{a}{x}$ ($a \neq 0$)
여기서도 $a$를 비례상수라고 해요.
📌 또 다른 모습
$y = \dfrac{a}{x}$ 의 양변에 $x$를 곱하면: $xy = a$. 즉,
$x$와 $y$를 곱한 값이 항상 같다는 뜻이에요.
표로 확인 — $y = \dfrac{12}{x}$
| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 |
|---|
| $y$ | 12 | 6 | 4 | 3 | 2 |
|---|
| $xy$ | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 |
|---|
마지막 줄을 봐요. $xy$ 값이 항상 12로 같죠. 이게 비례상수 $a$예요.
⚠️ 주의 — $x = 0$ 은 안 돼요!
$y = a/x$ 에서 $x = 0$ 이면 0으로 나누는 게 돼서 정의되지 않아요.
그래서 반비례 그래프는
$y$축 위에 점이 없어요.
3 / 5
PAGE 4 / 5 ★ 핵심
반비례 그래프 — $a$의 부호가 핵심
$a$ 값을 바꾸며 쌍곡선이 어떻게 움직이는지 직접 봐요. 특히 $a = -2$ 인 순간을 잘 봐요.
👇 슬라이더를 움직여 $a$ 값을 바꿔보세요
$a = 2$이면 그래프는 1·3사분면의 쌍곡선이에요.
⭐ 가장 중요한 부분 — 부호 표기
슬라이더를 움직여서 $a = -2$ 로 만들어 보세요.
그러면 식은 이렇게 돼요:
$y = \dfrac{-2}{x} = -\dfrac{2}{x}$
두 형태는
같은 식이에요. 분자에 $-$가 들어간 것과, 분수 앞에 $-$가 붙는 것은 결과가 같아요.
그래프도 같이 2·4사분면으로 옮겨가요.
관찰 포인트
① 반비례 그래프는 두 갈래 곡선(쌍곡선)이에요.
② $a > 0$ 이면 1·3사분면 (둘 다 같은 부호일 때).
③ $a < 0$ 이면 2·4사분면 (서로 다른 부호일 때).
④ 곡선은 $x$축, $y$축에 한없이 가까워지지만 닿지 않아요 (점근선).
⑤ $|a|$ 가 클수록 곡선이 원점에서 멀어져요.
4 / 5
PAGE 5 / 5
정비례 vs 반비례 — 한눈에 비교
두 친구를 한 자리에 두고 비교해 봐요.
| 정비례 | 반비례 |
|---|
| 식 | $y = ax$ | $y = \dfrac{a}{x}$ |
|---|
| $a$ 의미 | $y/x = a$ | $xy = a$ |
|---|
| 그래프 | 원점을 지나는 직선 | 쌍곡선 (두 갈래) |
|---|
| $a > 0$ 위치 | 1·3사분면 | 1·3사분면 |
|---|
| $a < 0$ 위치 | 2·4사분면 | 2·4사분면 |
|---|
| 원점 통과 | O | X (지나지 않음) |
|---|
| $x = 0$ 일 때 | $y = 0$ | 정의되지 않음 |
|---|
💡 함께 보기
$a$의 부호는 두 경우 다 똑같이 사분면을 결정해요. (양수면 1·3, 음수면 2·4)
$a$의 크기는 정비례에서는
가팔기, 반비례에서는
원점에서의 거리를 의미해요.
✏️ 직접 써보기
주변에서 정비례 한 가지, 반비례 한 가지를 찾아 식과 함께 써 보세요.