유형 06 · H3 · 1/4
두 그래프가 또 만나는 점은?
정비례와 반비례 그래프가 두 점에서 만날 때, 한 점을 이용해 비례상수를 구하고 연립해서 다른 교점을 찾는다.
정비례 $y = ax$ | 반비례 $y = \dfrac{a}{x}$ |
비례상수 $a$ | 반비례 관계 $xy = a$
정비례 $y = ax$와 반비례 $y = \dfrac{b}{x}$가 점 $(1,\ 4)$를 지난다.
두 그래프가 또 다른 한 점에서 만날 때, 그 점의 좌표를 구하여라.
유형 06 · H3 · 2/4
두 비례상수 a, b 구하기
두 그래프 모두 점 (1, 4)를 지나므로, 각각에 x=1, y=4를 대입한다.
1
정비례 $y = ax$에 $(1,\ 4)$ 대입:
$4 = a \times 1$ → $\mathbf{a = 4}$
따라서 $y = 4x$
2
반비례 $y = \dfrac{b}{x}$에 $(1,\ 4)$ 대입:
$4 = \dfrac{b}{1}$ → $\mathbf{b = 4}$
따라서 $y = \dfrac{4}{x}$
두 비례상수가 같이 4가 됐다! 하지만 $y = 4x$와 $y = \dfrac{4}{x}$는 완전히 다른 그래프.
이제 "또 다른" 교점을 구해야 한다.
유형 06 · H3 · 3/4
연립해서 교점 찾기
두 식이 같은 점에서 만나면 y값이 같다. 두 식을 같다고 놓고 x를 구한다.
1
두 식을 같다고 놓기:
$$4x = \frac{4}{x}$$
2
양변에 $x$를 곱하기 ($x \neq 0$):
$$4x^2 = 4$$
3
양변을 4로 나누기:
$$x^2 = 1 \quad\Rightarrow\quad x = \pm 1$$
4
$x=1$은 이미 알고 있는 점 $(1,4)$.
새로운 교점: $x = -1$ 대입
$y = 4 \times (-1) = -4$
따라서 $\mathbf{(-1,\ -4)}$
$y = \dfrac{4}{x}$에서도 확인: $y = \dfrac{4}{-1} = -4$ ✓
두 그래프 모두 $(-1,\ -4)$를 지남이 확인됨.
유형 06 · H3 · ★ 정리
★ 최종 답 & 핵심 정리
비례상수: $a = 4$, $b = 4$
두 그래프: $y = 4x$, $y = \dfrac{4}{x}$
연립: $4x = \dfrac{4}{x}$ → $x^2 = 1$ → $x = \pm 1$
또 다른 교점: $(-1,\ -4)$
교점 계산 공식
정비례 $y = ax$와 반비례 $y = \dfrac{b}{x}$의 교점:
$$ax = \frac{b}{x} \;\Rightarrow\; ax^2 = b \;\Rightarrow\; x^2 = \frac{b}{a}$$
$x = \pm\sqrt{\dfrac{b}{a}}$ (두 개의 교점, 원점에 대해 대칭)
정비례와 반비례의 교점은 항상 원점 대칭!
한 교점이 $(p,\ q)$이면, 다른 교점은 반드시 $(-p,\ -q)$
왜 원점 대칭일까?
$ax = \dfrac{b}{x}$ → $x^2 = \dfrac{b}{a}$ → $x = \pm\sqrt{\dfrac{b}{a}}$
두 x값의 절댓값이 같고 부호가 반대 → y값도 마찬가지