깊이 탐구 — 식↔그래프, 비례 활용

이 유형이 어려운 이유

그래프를 보고 "이게 정비례인지 반비례인지" 먼저 판별한 다음에 식을 결정해야 해서, 두 단계의 사고가 필요해요.

핵심 아이디어 — 2단계 풀이법

STEP 1 — 그래프 종류 판별

그래프 모양	종류
원점을 지나는 직선	정비례
두 갈래 곡선 (쌍곡선)	반비례

STEP 2 — 식 결정

종류	식 형태	$a$ 결정 방법
정비례	$y = ax$	한 점 $(x_0, y_0)$ → $a = y_0/x_0$
반비례	$y = a/x$	한 점 $(x_0, y_0)$ → $a = x_0 y_0$

두 단계만 통과하면 모든 그래프가 식이 돼요. 핵심은 한 점의 좌표를 정확히 읽는 것.

그래프에서 점 좌표 읽기 팁

격자 위에 정확히 놓이는 점을 찾기 (정수 좌표 우선)
$x = 1$ 또는 $y = 1$ 위치에서 다른 좌표 읽기
읽은 값을 바로 $a$ 계산에 사용

자주 하는 실수

😵

정비례에 $a = xy$ 사용 (반비례 공식 적용)

정비례는 $a = y/x$ (나누기). 반비례는 $a = xy$ (곱하기). 그래프 종류부터 먼저 결정.

🤨

격자 안 보이는 점에서 좌표 추측

격자에 정확히 놓이지 않은 점은 좌표 읽기 어려워요. 격자 점에서 좌표 읽기.

추가 문제 (3문제)

PROBLEM 1

정비례 그래프가 점 $(3, -9)$를 지난다. 식과, $x = -2$일 때 $y$값을 구하시오.

$a = -9/3 = -3$. 식 $y = -3x$.
$x = -2$: $y = 6$.

PROBLEM 2

반비례 그래프가 점 $(-3, 4)$를 지난다. 식과, $y = -2$일 때 $x$값을 구하시오.

$a = (-3)(4) = -12$. 식 $y = \dfrac{-12}{x}$.
$y = -2$: $-2 = -12/x \Rightarrow x = 6$.

PROBLEM 3 (도전)

정비례와 반비례 그래프가 모두 점 $(2, 4)$를 지난다. 두 식을 구하고, 두 그래프가 만나는 또 다른 점을 구하시오.

정비례 $y = 2x$, 반비례 $y = \dfrac{8}{x}$.
만남: $2x = 8/x \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
$x = 2$: $(2, 4)$ (이미 알고 있는 점). $x = -2$: $y = -4$ → $(-2, -4)$.
다른 만남점: $(-2, -4)$ (원점 대칭).

이 유형 이해하면…

"그림 ↔ 식" 변환은 데카르트가 발명한 가장 큰 마법이에요. 이 능력은 모든 함수 학습의 기초.

이 유형이 어려운 이유

"문제를 읽고 정비례인지 반비례인지 판별 → 식 세우기 → 답 구하기"라는 3단계가 필요해요. 일상 언어를 수학 언어로 옮기는 게 핵심.

핵심 아이디어 — 판별 키워드 사전

정비례 신호

"한 단위에 ~원" (가격) → 개수와 총가격 정비례
"같은 속도로 달림" → 시간과 거리 정비례
"$x$가 늘면 $y$도 비례해 늘어난다"

반비례 신호

"전체 양 일정, 나누어 가짐" → 사람 수와 1인분 반비례
"같은 거리, 다른 속도" → 속도와 시간 반비례
"전체 일 일정, 사람 수 변함" → 사람 수와 작업 시간 반비례
"맞물린 톱니바퀴" → 톱니 수와 회전수 반비례

판별 한 줄 공식

        $y/x$ 일정 → 정비례.

        $xy$ 일정 → 반비례.

        둘 다 아니면 정비례·반비례 X (다른 관계).

대표 활용 패턴 5가지

① 거리·속도·시간 (둘 중 하나 일정)

거리 = 속도 × 시간. 어느 양이 일정한지에 따라 다른 두 양의 관계 결정.

속도 일정 → 시간과 거리 정비례 ($y = vx$)
거리 일정 → 속도와 시간 반비례 ($y = D/x$)

② 톱니바퀴 (맞물림)

두 톱니바퀴 A, B 맞물려 회전. A 톱니 수 × A 회전수 = B 톱니 수 × B 회전수.

톱니 수 일정한 한 톱니바퀴에서 회전수와 톱니 수는 정비례 관계가 아니라 단위 시간당 일정하니까... 다음 카드에서 정리.

③ 일·시간·사람 수

일정한 일을 사람 수 $x$명이 $y$시간 동안 한다면 $xy$ = 총 작업량 (일정) → 반비례.

④ 분배

총량 일정, 받는 사람 수와 1인분 → 반비례.

⑤ 직사각형 넓이 일정

넓이 = 가로 × 세로 일정 → 가로와 세로 반비례.

자주 하는 실수

😵

"빠를수록 시간 짧음"을 정비례라고 착각

"같은 거리, 빠를수록 시간 짧음" → 속도와 시간 반비례.
"빠를수록 거리 멀리" (같은 시간) → 속도와 거리 정비례.
어떤 양이 일정한지부터 판별.

⚠️

단위 변환 실수

시속 km vs 분속 m, m vs km, 분 vs 시 — 단위가 일치하는지 끝까지 확인.

추가 문제 (3문제)

PROBLEM 1

한 사람이 어떤 일을 하는 데 18시간 걸린다. 같은 일을 6시간 만에 끝내려면 몇 명이 함께 일해야 하는가?

총 일량 = $1 \times 18 = 18$ (사람·시간 단위). 6시간 만에: $x \times 6 = 18 \Rightarrow x = 3$ 명.