문제 · Page 0

단계별로 풀어볼까요?

정답은 마지막에 확인해요. 먼저 스스로 생각해보고, 막히면 다음 단계로 넘어가세요.

📖 용어 노트 | 정비례: $y=ax$ ($a\neq0$) 형태, $x$가 커지면 $y$도 같은 비율로 커짐 · 반비례: $y=a/x$ ($a\neq0$) 형태, $x$가 커지면 $y$는 반대로 작아짐 · 비례상수 $a$: $y=ax$ 또는 $y=a/x$에서 고정된 수 $a$ · $xy=a$: 반비례 관계를 곱으로 표현한 형태

유형 5 · H2

$y$가 $x$에 반비례하고 두 점 $(3, k)$, $(k+5, 2)$가 모두 같은 그래프 위에 있을 때,
양수 $k$의 값과 비례상수 $a$를 구하시오.

🤔 잠깐, 손으로 풀어보세요 같은 반비례 그래프 위의 점이면 $xy$ 값이 모두 같아요. 두 점의 $xy$ 값을 같다고 놓으면 $k$에 대한 방정식이 나와요. 해봐요!

1단계 · Page 1

핵심 아이디어 — 같은 그래프의 두 점

왜 이 단계? — 반비례 그래프에서 같은 그래프 위의 모든 점은 $xy$ 값이 같아요.

📖 용어 노트 | 반비례: $y=a/x$ · $xy=a$: 같은 반비례 위의 모든 점에서 성립

같은 반비례 그래프의 성질

$y = a/x$ 위의 점 $(x_1, y_1)$과 $(x_2, y_2)$ 모두:

$x_1 y_1 = a$ 이고 $x_2 y_2 = a$
→ $x_1 y_1 = x_2 y_2$

두 점의 $xy$ 곱이 같아요.

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2단계 · Page 2

두 점의 $xy$ 값 같다 → $k$ 결정

왜 이 단계? — 두 점의 $xy$ 값을 같다고 놓으면 $k$에 대한 방정식이 나와요.

📖 용어 노트 | 반비례: $y=a/x$ · $xy=a$: 같은 그래프 위 두 점의 $xy$ 같음

두 점의 $xy$ 계산

점 $(3, k)$: $xy = 3k$
점 $(k+5, 2)$: $xy = 2(k+5) = 2k + 10$

같다고 놓기

$3k = 2k + 10$
$3k - 2k = 10$
$k = 10$

$k = 10 > 0$ → "양수 $k$" 조건 만족 ✓

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3단계 · Page 3

$a$ 결정 + 확인

왜 이 단계? — $k$를 알았으니 $a = xy$로 비례상수를 구하고, 두 번째 점도 확인해요.

📖 용어 노트 | 반비례: $y=a/x$ · 비례상수: $a = xy$

$a$ 계산

$a = 3 \times k = 3 \times 10 = 30$
식: $y = \dfrac{30}{x}$

두 번째 점 확인

점 $(k+5, 2) = (10+5, 2) = (15, 2)$
확인: $15 \times 2 = 30 = a$ ✓

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정답 · Page ★

정답 + 풀이 흐름 요약

📖 용어 노트 | 반비례: $y=a/x$ ($a\neq0$) · $xy=a$: 반비례 곱 표현 · 같은 그래프: 두 점의 $xy$ 같음

$k = 10$, $a = 30$
식: $y = \dfrac{30}{x}$
비례상수 결정 · 유형 5 H2

전체 풀이 흐름 — 3단계

1

같은 반비례 위 두 점 → $xy$ 값 같음: $3k = 2(k+5)$

2

$k = 10$ (양수 조건 확인 ✓)

3

$a = 3 \times 10 = 30$. 확인: $(15, 2)$ → $15 \times 2 = 30$ ✓

⚠️ 이 유형의 핵심 기법 "같은 반비례 위의 두 점 → $x_1y_1 = x_2y_2$" — 이 성질을 이용하면 미지수가 $x$나 $y$ 자리에 있어도 방정식을 세울 수 있어요. 반비례 H 문제의 핵심 무기예요.

📚 이 유형 더 연습하고 싶다면

→ 유형 5 (비례상수 결정) 다른 문제 연습

→ 깊이 탐구 — 반비례 완전 이해

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