깊이 탐구 — 반비례 ★

식 + 그래프 + 비례상수 + 음수 표기 함정 정복

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이 유형이 가장 중요한 이유 ★

이 단원에서 가장 헷갈리는 부분 1순위입니다.

반비례 식은 "$y = a/x$"라고 외웠는데, $a$가 음수일 때 표기가 여러 형태로 등장하면서 머리가 복잡해져요.

이 함정을 한 번만 똑바로 정복하면 평생 안 헷갈려요.

★ 핵심 — 음수 비례상수의 5가지 모습은 모두 같은 식

$a = -2$일 때, 다음 다섯 식은 모두 같아요

$y = \dfrac{-2}{x}$
$y = -\dfrac{2}{x}$
$y = \dfrac{2}{-x}$
$xy = -2$

+ 빈 칸 하나 더... $y = (-2) \cdot \dfrac{1}{x}$

★ 왜 같은가
분자에 음수가 들어간 것 ($\dfrac{-2}{x}$)과,
분수 앞에 음수가 붙은 것 ($-\dfrac{2}{x}$)은
수학적으로 완전히 같아요.

$\dfrac{-2}{x} = \dfrac{-2}{x}$  그리고  $-\dfrac{2}{x} = (-1) \cdot \dfrac{2}{x} = \dfrac{-2}{x}$.
같은 값.

그러나 다음은 다른 식!

$y = \dfrac{x}{-2} \neq y = \dfrac{-2}{x}$

왼쪽은 분자에 $x$, 분모에 $-2$가 있는 식이에요. 정리하면:

$y = \dfrac{x}{-2} = -\dfrac{1}{2}x$

이건 $x$가 분자에 있으므로 정비례! (비례상수 $-1/2$)

판단 핵심: "$x$가 분자에 있으면 정비례, 분모에 있으면 반비례."
반비례 식 세우기 — 단계별
  • ① 일상의 관계를 보고 "두 양의 곱이 일정한가?" 확인
  • ② 예 → 반비례. 그 곱이 비례상수 $a$.
  • ③ 식: $y = \dfrac{a}{x}$ (또는 동등하게 $xy = a$)
예: 사탕 60개를 $x$명이 나눈다면 한 명당 $y$개. 곱 $xy = 60$ (총 사탕 수 일정). → $y = \dfrac{60}{x}$.
자주 하는 실수
😵
$y = \dfrac{x}{-2}$ 를 반비례라고 착각
$x$가 분자에 있으면 정비례. $y = \dfrac{-2}{x}$ 와 헷갈리지 말 것.
😨
$y = \dfrac{-2}{x}$ 와 $y = -\dfrac{2}{x}$ 가 다른 식이라고 착각
두 형태는 완전히 같음. 그래프 모양도 같음 (2·4사분면 쌍곡선).
⚠️
$xy = a$ 형태를 못 알아봄
$xy = -3$ 도 반비례 식. 양변에 $1/x$ 곱하면 $y = -3/x$. 형태가 달라도 같은 의미.
추가 문제 (3문제)
PROBLEM 1 ★
다음 중 $y$가 $x$에 반비례하는 것을 모두 고르시오.
(가) $y = \dfrac{-3}{x}$ (나) $y = -\dfrac{3}{x}$ (다) $xy = -3$ (라) $y = \dfrac{x}{-3}$ (마) $y = \dfrac{3}{-x}$
반비례 = $x$가 분모에 있는 식.
(가) $\dfrac{-3}{x}$ — $x$ 분모에 ✓
(나) $-\dfrac{3}{x} = \dfrac{-3}{x}$ — 같은 식 ✓
(다) $xy = -3 \Rightarrow y = \dfrac{-3}{x}$ — 같은 식 ✓
(라) $y = \dfrac{x}{-3} = -\dfrac{1}{3}x$ — $x$ 분자에 → 정비례 X
(마) $\dfrac{3}{-x} = \dfrac{-3}{x}$ — 같은 식 ✓
★ 정답: (가), (나), (다), (마) 모두 같은 반비례 식.
PROBLEM 2
$y$가 $x$에 반비례하고 $a = -10$이다. $y$를 $x$의 식으로 두 가지 형태 (분자 부호, 분수 앞 부호)로 나타내시오.
① $y = \dfrac{-10}{x}$ (분자에 부호)
② $y = -\dfrac{10}{x}$ (분수 앞 부호)
두 형태 모두 같은 식.
PROBLEM 3
반비례 $y = \dfrac{a}{x}$ 에서 $x = 4$일 때 $y = -3$이다. $a$ 값과 식을 두 형태로 쓰시오.
$a = xy = 4 \times (-3) = -12$.
형태 1: $y = \dfrac{-12}{x}$
형태 2: $y = -\dfrac{12}{x}$
(또는 $xy = -12$ 형태도 가능)
이 함정을 정복하면…
이후 모든 반비례 문제, 더 나아가 중2의 분수식, 중3의 유리함수까지 부호 표기 때문에 헷갈릴 일이 사라져요.
"분자 부호 = 분수 앞 부호" 한 줄만 평생 기억하면 끝.
이 유형이 어려운 이유

"쌍곡선" 모양이 직선보다 그리기 어렵게 느껴져요. 또 "원점을 안 지난다", "축에 닿지 않는다" 같은 새로운 개념이 등장해요.

핵심 아이디어 — 쌍곡선 4가지 사실

① 두 갈래 곡선

반비례 그래프는 항상 두 개의 곡선으로 이루어져요. 두 곡선은 서로 만나지 않아요.

② 사분면 위치 (★ $a$ 부호)

$a$ 부호지나는 사분면$xy$ 부호
$a > 0$제1·3사분면$xy > 0$ (같은 부호)
$a < 0$제2·4사분면$xy < 0$ (반대 부호)

③ 원점을 지나지 않음

$x = 0$일 때 $y = a/0$은 정의되지 않으니 $y$축 위에 점이 없음. 또 $y = 0$이려면 $a = 0$이어야 하지만 반비례 정의가 깨져요. → 원점도 안 지남.

④ 점근선 — $x$축, $y$축에 닿을 듯 닿지 않음

$|x|$가 매우 커지면 $y = a/x$가 0에 가까워지지만, 절대 0이 되지 않아요. → 그래프가 $x$축에 한없이 가까워짐.

반대로 $|x|$가 0에 가까워지면 $|y|$가 무한대로 → $y$축에 한없이 가까워짐.

이걸 점근선(asymptote)이라고 해요. 한국어로 "점점 가까워지는 선".

⑤ $|a|$ 와 위치

$|a|$가 클수록 곡선이 원점에서 더 멀리 있어요. ($x = 1$에서 $y = a$이므로 $|a|$만큼의 위치)

자주 하는 실수
😵
"원점을 지난다"고 적기
반비례는 절대 원점을 지나지 않아요. 정비례와 가장 큰 차이.
🤔
곡선이 축에 닿는다고 그리기
곡선은 축에 한없이 가까워지지만 닿지 않음. 그릴 때 곡선과 축 사이에 약간 틈을 두고 그려요.
추가 문제 (3문제)
PROBLEM 1
$y = \dfrac{-12}{x}$ 의 그래프에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르시오.
(가) 쌍곡선 (나) 1·3사분면 (다) 2·4사분면 (라) 원점 통과 (마) 점근선 있음
$a = -12 < 0$.
(가) ✓ 쌍곡선
(나) X 1·3사분면 → 2·4사분면이 맞음
(다) ✓
(라) X — 원점 통과 안 함
(마) ✓ 점근선
정답: (가), (다), (마).
PROBLEM 2
반비례 그래프가 1·3사분면을 지나며 점 $(2, 6)$을 지난다. 식과, $x = 4$일 때 $y$값을 구하시오.
$a = 2 \times 6 = 12 > 0$ (1·3사분면 일치 ✓). 식 $y = \dfrac{12}{x}$.
$x = 4$: $y = 3$.
PROBLEM 3
반비례 $y = \dfrac{20}{x}$ 의 그래프 위 정수 좌표 점은 모두 몇 개?
$xy = 20$ 인 정수 짝.
양수: $(1,20), (2,10), (4,5), (5,4), (10,2), (20,1)$ → 6개
음수: $(-1,-20), (-2,-10), (-4,-5), (-5,-4), (-10,-2), (-20,-1)$ → 6개
총 12개.
이 유형 이해하면…
쌍곡선은 중3 이차함수, 고1 유리함수의 시조. 또 물리학에서 "거리·시간·속도"가 일정할 때의 관계 등 자연 현상에 자주 등장해요.
이 유형이 어려운 이유

"점이 주어지면 식을 결정"하는 흐름은 정비례와 같지만, 반비례에서는 $a = xy$ (곱)을 써야 한다는 점이 헷갈려요.

핵심 아이디어 — 단계 3개

반비례 비례상수 결정

  • ① 반비례 식 형태 가정: $y = \dfrac{a}{x}$
  • ② 주어진 점 $(x_0, y_0)$ 대입: $y_0 = \dfrac{a}{x_0}$
  • ③ 양변에 $x_0$ 곱하기: $a = x_0 y_0$
기억할 한 줄: "한 점 알면 $a = xy$". 정비례는 나누기, 반비례는 곱하기.

정비례 vs 반비례 — 한눈에

정비례반비례
식$y = ax$$y = a/x$
$a$ 일정 형태$y/x = a$$xy = a$
한 점에서 $a$$a = y/x$ (나누기)$a = xy$ (곱하기)
자주 하는 실수
😵
정비례 공식 $a = y/x$ 을 반비례에 적용
반비례에서는 곱하기예요: $a = xy$. 정비례와 반대.
⚠️
부호 무시
$x = -2$, $y = 6$ 일 때 $a = (-2)(6) = -12$. 부호 끝까지 따져요.
추가 문제 (3문제)
PROBLEM 1
$y$가 $x$에 반비례하고 $x = -3$일 때 $y = 4$이다. $x = 6$일 때 $y$값?
$a = (-3)(4) = -12$. 식 $y = \dfrac{-12}{x}$.
$x = 6$: $y = -12/6 = -2$.
PROBLEM 2
반비례 그래프가 점 $(\dfrac{1}{2}, 8)$을 지난다. 식과 $x = -4$일 때 $y$값?
$a = \dfrac{1}{2} \times 8 = 4$. 식 $y = \dfrac{4}{x}$.
$x = -4$: $y = -1$.
PROBLEM 3
$y$가 $x$에 반비례하고 $x = 4$일 때 $y$값과 $x = 8$일 때 $y$값을 합하면 9이다. $a$값?
$\dfrac{a}{4} + \dfrac{a}{8} = 9$.
공통분모: $\dfrac{2a}{8} + \dfrac{a}{8} = \dfrac{3a}{8} = 9$.
$a = 24$.
확인: $24/4 + 24/8 = 6 + 3 = 9$ ✓.
이 유형 이해하면…
"점 → $a$"는 반비례 모든 문제의 시작점. 또 정비례 vs 반비례 구분 ($y/x$ vs $xy$)이 명확해져요.